Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня, його властивості

Коренем п-го степеня із числа а називається таке число , п-ий степінь якого дорівнює а.

Наприклад

Корінь третього степеня з числа -125 дорівнює -5. ( Оскільки(-5)³=-125)

Числа -2 і 2 є коренями шостого степеня з 64. ( Оскільки 2⁶=64 і (-2)⁶= 64)

Арифметичним коренем п-го степеня з числа а називається невід'ємне число, п-й степінь якого дорівнює а.

При $a\ge0$, арифметичного значення кореня п-го степеня з числа а позначають : $\sqrt[n]{a}$; де n- показник кореня, а- це підкореневий вираз.

Наприклад

$\sqrt[5]{32}=2$, $\sqrt[4]{81}=3$.

При $a<0$ значення кореня n- го степеня з числа а існує тільки при непарних значеннях n. Тому , корінь непарного степеня n із числа а також позначають $\sqrt[n]{a}$.

Пригадаємо, що $2k$- означає парне число, а $2k-1$- непарне число.

Отже, вираз $\sqrt[2k+1]{a}$ означає корінь непарного степеня із числа а, але не арифметичний

$\sqrt[2k]{a}$ означає корінь парного степеня із числа а

Значення кореня непарного степеня із числа а- існує при будь-яких значеннях а

Значення кореня парного степеня із числа а існує тільки коли $a\ge0$.

Наприклад

№1 Визначте, при яких значеннях х має зміст вираз:

а) $\sqrt[3]{2x-17}$

так як корінь має непарний степінь, то х-будь яке число.

б) $\sqrt[4]{15-3x}$

так як корінь має парний степінь, то підкореневий вираз повинен бути невід'ємним числом.

$15-3x\ge0$

$-3x\ge-15$

$x\le5$

Вираз має зміст, при $x\in\left(-\infty;5\rbrack\right.$

Запиши в зошит і вивчи

Властивості арифметичних коренів п-го степеня

• $\sqrt[n]{0}=0$

• $\sqrt[n]{1}=1$

• $\left(\sqrt[n]{a}\right)^{n}=a$, якщо n- непарне, то для будь-якого а, якщо n - парне , то лише для невід'ємного а.

• $\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$, m-ціле, n-натуральне

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$, якщо n-непарне, то a і b- довільні числа, а якщо n- парне, то a і b невід'ємні.

• Для непарного n , справедлива рівність $\sqrt[n]{a^{n}b}=a\sqrt[n]{b}$, для парного n виконується рівність $\sqrt[n]{a^{n}b}=\left\vert a\right\vert\sqrt[n]{b}$

• Для непарного n , виконується рівність $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}b}$ , а для парного n залежить від значення а, якщо а- невід'ємне, то $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}b}$, якщо а- від'ємне, то $a\sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{a^{n}b}$.

• $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$, для всіх значень а з області визначення виразу $\sqrt[nm]{a}$

• Для невід'ємного а, справедлива рівність $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^{m}}$, і навпаки.