Дарина дуже любила купувати канцелярські товари. В неї було 45 грн. З них 40% вона витратила на блокнот, а на решту грошей купила 10 олівців. Скільки коштує 1 олівець?

Розв'язання:

Вартість олівців можна знайти двома способами.

І спосіб:

45 грн = 4500 к. Знайдемо 40% від 4500:

4500 · 40/100 = 45·40 = 1800(к) = 18 грн - коштує блокнот

4500 - 1800 = 2700(к) - коштують 10 олівців

2700 : 10 = 270(к) = 2грн 70 к - коштує 1 олівець.

ІІ спосіб:

100% -40% = 60% -частина грошей, витрачена на олівці.

4500 · 60/100 = 2700(к) - коштують 10 олівців

2700 : 10 = 270(к) = 2грн 70 к - коштує 1 олівець.

Задача №2

У пачці 250 аркушів паперу. На передрукування одного документу пішло 3/5 всієї пачки, а на передрукування другого документу - 3/4 залишку. Скільки чистих аркушів залишилося в пачці?

Розв'язання:

Зауважимо, що 3/5 - це частина від усієї кількості аркушів (250), а 3/4 - це частина від залишку, який буде після надрукування першого документу.

І спосіб:

1) 250·3/5 = 50·3 = 150(арк.) - пішло на перший документ

2) 250-150 = 100 (арк.) - залишок І

3) 100· 3/4 =25 · 3 = 75(арк.) - пішло на другий документ

4) 100 - 75 = 25(арк.) - залишилося.

ІІспосіб:

Усоьго аркушів (вся пачка) - 1. Тоді 1 - 3/5 = 2/5 - частина пачки, що залишилася після друкування першого документу.

250 · 2/5 = 100(арк.) - залишок І

1 - 3/4 = 1/4 - шукана частина І залишку

100 · 1/4 = 25(арк.)

ІІІ спосіб:

Знайдемо, яку частину всієї пачки становить другий документ. Для цього помножимо 2/5 на 3/4:

2/5 · 3/4 = 3/10

Тепер дізнаємось, яким дробом виражається невідома частина:

1 - (3/5 + 3/10) = 1 - (6/10 +3/10) = 1 - 9/10 = 1/10

Тепер знайдемо 1/10 від 250:

250 · 1/10 = 25(арк.)

Відповідь: У пачці залишилося 25 чистих аркушів.

Задача № 3

Мати залишила для трьох своїх синів тарілку слив, а сама пішла на роботу. Першим прийшов зі школи молодший син. Побачивши на тарілці сливи, він з'їв третю частину і пішов гуляти. Другим прийшов середній син. Гадаючи, що його брати ще не їли сливи, він з'їв третю частину того, що було на тарілці, і теж пішов гуляти. Пізніше за всіх прийшов старший син і з'їв 4 сливи - третю частину слив, які він побачив на тарілці. Скільки слив мати залишила на тарілці?

Проаналізуємо умову задачі, використовуючи графічну модель:

Розв'язання:

1) 1 - 1/3 = 2/3 - частина слив, що залишилася на тарілці

2) 4 : 1/3 = 4 · 3 = 12(с.) - залишок ІІ

3) 12 : 2/3 = 12 · 3/2 = 18 (с.) - залишок І

4) 18 : 2/3 = 18 · 3/2 = 27(с.)

Відповідь: 27 слив мати залишила на тарілці.

Дуже часто при розв'язуванні задач на дроби уведення буквенних позначень дозволяє спростити пошук розв'язання, зробити його коротшим. Розглянемо такі задачі.

Задача №4

Знайти число, якщо 2/3 від нього дорівнюють числу, 5/6 від якого становлять 25.

Розв'язання:

І спосіб:

Оскільки 5/6 числа дорівнює 25, то це число дорівнює:

25 : 5/6 = 25 · 6/5 = 5·6 = 30

2/3 від числа, яке треба знайти в задачі, дорівнює 30. Тоді це число дорівнює:

30 : 2/3 = 30 · 3/2 = 45.

ІІ спосіб:

Нехай х - шукане число. Тоді за умовою: 2/3 х = 25 : 5/6.

Знайдемо х: 2/3 х = 25· 6/5 <=> 2/3 х = 30 <=> х = 30 : 2/3 <=> х = 30· 3/2 <=> х= 45.

Відповідь : шукане число 45.

Задача №5

У трьох районах міста проживає 12000 осіб. Скільки осіб проживає в кожному районі, якщо відомо, що 2/3 кількості мешканців першого району дорівнюють 1/2 кількості мешканців другого району і кількості 2/5 мешканців третього району?

Розв'язання:

І спосіб:

Нехай кількість мешканців першого району - х, другого району - у, а третього району - а. Тоді за умовою:

2/3 х = 1/2 у = 2/5 а помножимо на 30 <=> 20х = 15 у = 12 а.

З цих рівностей випливає:

Цю задачу можна проаналізувати, використовуючи графічну модель. Тоді саме розв'язання буде простішим.

ІІ спосіб:

Зі схеми видно, що за х зручно прийняти 1/3 кількості мешканців першого району. Тоді в першому районі проживає 3х осіб, в другому районі - 4х осіб, а в третьому - 5х осіб. За умовою в трьох районах - 12000 мешканців, отже маємо рівняння:

3х+4х+5х = 12000 <=> 12х = 12000 <=>х = 1000

Тоді в першому районі 1000 · 3 = 3000 (ос.);

в другому районі 1000 · 4 = 4000 (ос.);

в третьому районі 1000 · 5 = 5000 (ос.)

Відповідь: І - 3000 осіб, ІІ - 4000 осіб, ІІІ - 5000 осіб.

Іноді умову задачі зручніше проаналізувати за допомогою таблиці.

Задача № 6

Тато надпив 1/3 склянки чорної кави і долив склянку молоком, потім надпив ще 1/4 склянки і знову долив її молоком, після чого надпив ще 1/5 склянки. Іншого разу тато спочатку надпив 1/5 склянки і долив молоком, потім надпив ще 1/4 слянки, доливши знову склянку молоком, після чого надпив ще 8/25 склянки. В якому випадку тато випив кави більше?

Розв'язання:

Складемо таблицю, яка показує, як у першому випадку змінювалася частина випитої та залишеної в склянці чорної кави:

Аналогічно проаналізуємо другий випадок:

При розв'язуванні комбінованих задач на дроби можна використовувати схеми, таблиці, числові й буквені вирази, рівняння.

Розв'яжіть задачі:

В саду виростили 3200 саджанців фруктових дерев. Саджанці яблунь становили 55% усіх дерев, причому 2/11 яблунь були сорту "Слава переможям". Скільки саджанців яблунь сорту "Слава переможцям" виростили в саду?
Мама заготувала на зиму 60 банок консервованих фруктів. У 2/5 цих банок були абрикоси, в 3/4 залишку - вишні, а в решті банок - персики. На скільки банок з абрикосами було більше, ніж банок з персиками?
Знайди число, якщо 5/8 його дорівнюють числу, 3/5 якого становлять 27.
У трьох будинках мешкають 400 осіб. 2/5 кількості мешканців першого будинку дорівнює 1/3 кількості мешканців другого будинку і 2/9 кількості мешканців третього будинку. Скільки мешканців в кожному будинку?
Хлопець надпив 1/6 чашки чорної кави і долив її молоком. Потім випив ще півчашечки і знову долив її молоком. Після цього хлопець випив всю чашечку до кінця. Чого він випив більше: чорної кави чи молока?