Ірраціональні рівняння

Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна, називаються ірраціональними.

Розв'язання ірраціональних рівнянь зазвичай зводиться до переходу від ірраціонального до раціонального рівняння шляхом піднесення до степеня n обох частин рівняння.

При розв'язанні ірраціональних рівнянь необхідно враховувати наступне:

1. Якщо показник кореня — парне число, то підкореневий вираз і значення кореня не повинні бути від'ємними.

2. Якщо показник кореня — непарне число, то підкореневий вираз може бути будь-яким дійсним числом.

3. При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня можуть виникати сторонні корені, тому при використанні даного методу необхідно робити перевірку або знаходити область допустимих значень.

Приклад:

1. Розв'яжи рівняння:

Розв'язання

ОДЗ:

3x−2≥0

3x≥2 / : 3

x≥2/3

Піднесемо обидві частини рівняння до четвертого степеня.
 Зx−2=16
3x=16+2
3x=18

x=6∈ ОДЗ

Відповідь: x=6

2. Розв'яжи рівняння:

Розв'язання

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

х²−24=1

x²=24+1

x²=25

Отримане неповне квадратне рівняння має два корені: −5 і 5.

Зробимо перевірку отриманих коренів, для цього підставимо значення змінної x у початкове рівняння.

Перевірка

Отже, початкове ірраціональне рівняння має два корені.
Відповідь: −5 і 5
3. Розв'яжи рівняння:

Розв'язання

Рівняння не має коренів. Корінь парного степеня — невід'ємне число.

 4. Розв'яжи рівняння:

Розв'язання

Піднесемо обидві частини рівняння до куба:

5x+7=−8

5x=−8−7

5x=−15

x=−3

Відповідь: x=−3

Домашнє завдання

Розвяжіть рівняння