Інтеграли та параметр

11 клас (профільний рівень)

Тема: Інтеграл і параметр.

Тип уроку: урок комплексного застосування знань, умінь і навичок учнів.

Мета: засвоєння вмінь самостійно в комплексі застосовувати знання, уміння й навички, використовувати їх у нових умовах.

Хід уроку

І. Організація початку уроку.

ІІ. Актуалізація знань, умінь і навичок, необхідних для творчого застосування знань.

1. Яка фігура називається криволінійною трапецією?

2. Поясніть, як можна знайти площу криволінійної трапеції. Наведіть приклад.

3. Запишіть формулу для знаходження площі фігури, обмеженої зверху і знизу графіками неперервних функцій, а також прямими х=а і х=в, (а<в).

ІІІ. Вправи з перенесення знань у нові умови.

Інтеграл і параметр – два різних слова, але є між ними і щось спільне: у кожному слові по 8 букв, серед яких 4 однакові. З них можна скласти слово «тера», яке має відношення до математики. «Тера» – префікс у системі SI, що означає 10¹². Префікс затверджено 1960 року, і походить він від грецького слова τέρας, що означає чудовисько, тобто одиниць зі вказаним префіксом «жахливо багато».

Часто параметр зустрічається разом із інтегралом у задачах, які пов’язані з площами фігур, але є цікаві задачі, в яких об’єднані інтеграл і параметр без площі. Прикладом може слугувати декілька задач.

ЗАДАЧА №1.

Знайти вісь значення параметра а, при яких рівняння 12х³+12ах²-8ах-3=0 має принаймні один корінь на інтервалі (0;1).

Розв’язання. Розглянемо f(х)=12x³+12ax²-8ax-3;

f(0)= -3, f(0)<0 і якщо f(х) не мала коренів на (0;1), то як неперервна функція вона повинна зберігати знак на (0;1) для довільних значень =>

f(x)<0 і ₀∫¹ f (х)dx<0

Але ₀∫¹(12x³+12ax²-8ax-3)dx=(3х⁴+4ах-4ах²-3х)=3+4а-4а-3-0=0

Таким чином, дане рівняння при а є R має хоча б один корінь на (0;1).

Відповідь: а є R.

ЗАДАЧА №2.

Знайти найменше значення площі фігури, обмеженої параболою у=х² + 2х - 3 і прямою у=ах+1

у=х² +2х -3=(х²+2х+1)-4=(х+1)²-4

Знайдемо точки перетину двох графіків функцій

х² + 2х -3 = ах+1

х²+ х(2-а)-4 = 0

Д = (2-а)²+16

х₁ = ; х₂ =

Знайдемо площу фігури, що обмежена цими графіками

S(a )= _x1∫^x2 (ax+1-x²-2x+3)dx= _x1∫^x2 (4+(a-2)x-x²)dx = (4x+ =

= 4(x₂ – x₁)+ - = (x₂-x₁)(4+ - ) =

= * (4+

=

=

=

=

=

Отже, найменше значення функція S(a) набуває при а = 2 S(2) =

Відповідь: .

ЗАДАЧА 3.

При якому значенні а площа фігури, що обмежена у =+4х+а (а˃0)

х = 0, х = 2, у = 2 дорівнює 12 (відомо, що фігура лежить в верхній півплощині).

у = +4х+а

= ==

І випадок ІІ випадок

якщо а 2 якщо а ≥ 2

І випадок не задовольняє умову задачі, бо площа фігури менше площі квадрата ОАВС зі стороною 2. (4)

ІІ випадок

S =+4х+а)dx= (+ + ax) = + 8 + 2а 4 = 2а +

2а + = 12, 2а = ; а =

Відповідь: а = .

ІV. Інформація про домашнє завдання.

1) Площа фігури, що обмежена лініями у = ; у = ; х = 2, х = а, у = 0 дорівнює ln. Знайти а.

2) Знайти значення параметра а, при якому площа фігури, обмеженої параболою у = і прямою у=ах, приймає найменше значення.

11 клас Хабарова М. М..docx

Знайти найменше значення площі фігури, обмеженої параболою у=х² + 2х - 3 і прямою у=ах+1

Домашня робота (зробити фото та надіслати)