Імовірність випадкової події. Обчислення ймовірностей за допомогою формул комбінаторики

Що таке ймовірність події? Це інтуїтивне розуміння шансу настання певної події. Вивчайте ймовірність, вона корисна у фінансах, науці та іграх.

Основні поняття теорії ймовірностей

Випадковий експеримент

Випадковий експеримент має кілька можливих результатів. Приклади: кидання кубика, витягування карти.

Простір елементарних подій (Ω)

Простір елементарних подій – множина всіх можливих результатів. Наприклад, для кубика: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Подія (A)

Подія – це підмножина простору елементарних подій. Наприклад, парне число на кубику: A = {2, 4, 6}.

Класичне визначення ймовірності

$P(A)=\frac{m}{n}$,

де m – сприятливі результати,

n – загальна кількість.

Умова застосування: всі результати повинні бути рівноможливими.

Ймовірність витягнути туза з колоди карт (4/52).

Ймовірність випадіння конкретного числа на кубику (1/6).

Елементи комбінаторики: Перестановки

1. Перестановки. Способи розташувати n різних об'єктів у порядку.

2. Формула. P(n) = n! (n-факторіал). $P\left(n\right)=1\cdot2\cdot3\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot n$

3. Приклад. Скількома способами можна розставити на полиці 3 книжки.

$P\left(3\right)=3!=1\cdot2\cdot3=6$

Застосування: формування списків, розкладів

Елементи комбінаторики: Розміщення

1. Розміщення. Способи вибрати m об'єктів з n та розташувати їх у певному порядку

2. Формула. $A_{n^{}}^{m}=\frac{n!}{\left(n-m\right)!}$

3. Приклад. Скількома способами можна вибрати 2 учнів з 5 для олімпіади. $A_5^2=\frac{5!}{\left(5-2\right)!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot3}=20$

   Застосування: вибір команди, розподіл ролей

   ---

   Елементи комбінаторики: Комбінації

1. Комбінації. Способи вибрати k об'єктів з n, порядок не має значення

2. Формула. $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

3. Приклад. Скількома способами вибрати 3 книги з 7, якщо порядок не важливий? $C_7^3=\frac{7!}{3!\left(7-3\right)!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}{1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4}=35$

Застосування: вибір лотерейних номерів, формування комісій.

Задача 1.

У коробці 5 білих і 3 чорних кульки. Яка ймовірність витягнути 2 білі?

Розв'язання:

1. Загальна кількість спроб $C_8^2=\frac{8!}{2!\left(8-2\right)!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8}{1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}=28$

2. Кількість білих кульок $C_5^2=\frac{5!}{2!\left(5-2\right)!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot3}=10$

3. Імовірність $P=\frac{10}{28}=0,35$