Геометричний зміст визначеного інтеграла. Обчислення площ плоских фігур

Геометричний зміст визначеного інтеграла - це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

$S=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

Наприклад: побудуйте та знайдіть площу підграфіка функції $y=x^2$ на [1;2]

$S=\int_1^2x^2dx=\frac{x^3}{3}\vert_1^2=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=2\frac13\left(кв.од\right)$

Площа S плоскої фігури, яка обмежена неперервними на проміжку $\left\lbrack a;b\right\rbrack$ функціями $y=f\left(x\right)$ і $y=g\left(x\right)$ такими, що для всіх $x\in\left\lbrack a;b\right\rbrack$ виконується $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$, та прямими $x=a$ і $x=b$ обчислюється за формулою:

$S=\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\differentialD x$

Наприклад: •Знайдемо площу фігури, що обмежена графіками функцій
$y=4-x^2$та $y = x + 2$

Знайдемо точки перетину з віссю абсцис (Ох) прирівнявши дані функції $4-x^2=x+2$ і розв'яжемо отримане рівняння з однією змінною

$-x^2-x+4-2=0$; $-x^2-x+2=0$; $x^2+x-2=0$;

$D=b^2\pm4ac$; $D=1^1+4\cdot2=9$; $x_1=\frac{-1+3}{2}=1$;

$x_2=\frac{-1-3}{2}=-2$; отже проміжок [-2;1]

Шукаємо площу першої фігури обмежену функцією $y=4-x^2$

$S_1=\int_{-2}^1\left(4-x^2\right)\differentialD x=4x\vert_{-2}^1-\frac{x^3}{3}\vert_{-2}^1=4\cdot1-4\cdot\left(-2\right)-\frac{1^3}{3}-\frac{\left(-2\right)^3}{3}=$

$=4+8-\frac13+\frac83=12-3=9\left(кв.од\right)$

Шукаємо площу другої фігури обмежену функцією $y=x+2$

$S_2=\int_{-2}^1\left(x+2\differentialD x=\frac{x^2}{2}\vert_{-2}^1+2x\vert_{-2}^1=\frac{1^2}{2}-\frac{\left(-2\right)^2}{2}+2\cdot1-2\cdot\right.\left(-2\right)=$

$=\frac12-2+2+4=4,5\left(кв.од\right)$

$S=S_1-S_2=9-4,5=4,5\left(кв.од\right)$

Застосування визначеного інтегралу у фізиці

Нехай матеріальна точка рухається вздовж осі абсцис під дією сили,

проєкція якої на цю вісь - неперервна на деякому проміжку функція $f\left(x\right)$. Нехай [а; Ь] належить проміжку неперервності функції, і під дією цієї сили матеріальна точка перемістилася з точки М(а) у точку М(b) (мал.). Тоді роботу А цієї сили можна обчислити за формулою:

$A=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

Розв'язання:

$A=\int_3^6\left(x^2-2x\right)\differentialD x=\frac{x^3}{3}\vert_3^6-x^2\vert_3^6=\frac{6^3}{3}-\frac{3^3}{3}-6^2-3^2=$

$=72-9-36-9=18$

1. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями $y=x^2+2$ і $y=x+4$

2. Тіло рухається зі швидкістю $v(x)$. Знайдіть шлях $(yм)$, пройдений тілом за проміжок часу ($yс$) від $t_1$до $t_2$. $\vartheta\left(t\right)=3t-2t^2$ , $t_1=0$, $t_2=6$