Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії.

Перегляньте відеоматеріал.

Послідовність (bn), у якій кожний наступний член можна знайти, якщо попередній член помножити на одне і те ж число q, називається геометричною прогресією.

Якщо послідовність (bn) є геометричною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність: bn+1=bn⋅q

Число q називається знаменником геометричної прогресії.

Якщо у геометричній прогресії (bn) відомий перший член b1 і знаменник q, тоді можливо знайти будь-який член прогресії.

b2=b1⋅q

b3=b2⋅q=b1⋅q⋅q=b1⋅q2

b4=b1⋅q3

і т.д.

Загальний член геометричної прогресії bn можна обчислити, використовуючи формулу:

bn=b1⋅qn−1, де

n- порядковий номер члена прогресії,

b1- перший член послідовності,

q- знаменник.

Приклад:

Обчислити перші п'ять членів геометричної прогресії і написати формулу знаходження n-го члена, якщо b1 = 8 і q=0,5.

b1 = 8

b2=b1⋅q = 8⋅0,5 = 4

b3=b2⋅q = 4⋅0,5 = 2

b4=b3⋅q = 2⋅0,5 = 1

b5=b4⋅q = 1⋅0,5 = 0,5

bn = b1⋅qn−1

bn = 8⋅0,5n−1

Сума перших n членів геометричної прогресії 

Суму перших n членів геометричної прогресії Sn можна знайти, якщо обчислити її члени b1, b2, ..., bn і потім їх значення додати.

Обчислюючи суму перших n членів геометричної прогресії, зручніше використовувати
1-у формулу:

Sn=bnq−b1q−1,  де

n- кількість членів послідовності (порядковий номер),

b1- перший член послідовності,

bn- n-ий член послідовності,

q- знаменник. 

Розв'язуючи задачі, зручніше використовувати 2-у формулу:

Sn=b1(qn−1)q−1

Приклад:

Обчислити суму перших п'яти членів геометричної прогресії, якщо b1 =8 і q=0,5. 

I варіант

Розглянувши перший приклад, бачимо:

b1 =8, b2 = 4, b3 = 2, b4 = 1 і b5 = 0,5.

Додавши п'ять цих чисел, вийде сума (перших п'яти членів послідовності):

Sn = S5 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 =

8+4+2+1+0,5 = 15,5

II варіант

Використовується 1-а формула:

Sn=bnq−b1q−1, де

n=5

b1 =8

q=0,5

bn = b5 =0,5     (оскільки n=5)

S5 = (0,5⋅0,5−8)(0,5−1) = 15,5

III варіант

Використовується 2-а формула: 

Sn=b1(qn−1)q−1

S5 = 8⋅(0,55−1)0,5−1 = 15,5

Як бачите, всі три варіанти розв'язання призводять до одного й того ж результату. 

Сума перших п'яти членів прогресії дорівнює S5 = 15,5.

Теоретичний матеріал у підручнику на стор.169

Класна робота

№763, стор.174

№765,

№767,

№769,

№771,

№773,

№775,

№776,

№778

Для закріплення вивченого матеріалу виконайте онлайн вправу.

Домашня робота

№766, №768, №770, №772, №774 стор. 174