Функція y=k/x її властивості та графік

Перегляньте відеоматеріал.

Функція y=k/x

Познайомимося з новою функцією: y=k/x

Коефіцієнт k може приймати будь-які значення, крім k=0. Розглянемо спочатку випадок, коли k=1; отже, спочатку поговоримо про функцію y=1/x.

Щоб побудувати графік функції y=1/x, надамо незалежній змінній x декілька конкретних значень та обчислимо (за формулою y=1/x) відповідні значення залежної змінної y.

Щоправда, в цьому випадку зручніше здійснювати обчислення та побудову поступово — спочатку надавати аргументу лише додатних значень, а потім — лише від'ємних.

Перший етап

Якщо x=1, то y=1 (нагадаємо, що ми користуємося формулою y=1/x);

якщо x=2, то y=12;

якщо x=4, то y=14;

якщо x=8, то y=18;

якщо x=12, то y=2;

якщо x=14, то y=4;

якщо x=18 , то y=8.

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.

Другий етап

якщо x=−1, то y=−1;

якщо x=−2, то y=−12;

якщо x=−4, то y=−14;

якщо x=−8, то y=−18;

якщо x=−12, то y=−2;

якщо x=−14, то y=−4;

якщо x=−18, то y=−8.

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.

Тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто із двох малюнків зробимо один.

Це і є графіком функції y=1x, який називається гіперболою.

Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.

Будь-яка пряма, що проходить через початок координат O та розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки O, але на рівних відстанях від неї. Це властиво, зокрема, точкам (1;1) і (−1;−1), (2;12) і (−2;−12) тощо.

Отже, O — центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.

По-друге, ми бачимо, що гіпербола складається з двох частин,  їх зазвичай називають гілками гіперболи.

По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку — до осі ординат. У подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.

Отже, графік функції y=1x, тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь x та вісь y.

Якщо уважно проаналізувати побудований графік, можна виявити ще одну геометричну властивість, яка не настільки очевидна, як три попередні (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).

Зверни увагу!

Гіпербола має не лише центр симетрії, а й осі симетрії.

Побудуємо пряму y=x.

Тепер дивимося: точки (2;12)та(12;2) розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні відносно цієї прямої.

Те саме можна сказати про точки (4;14) і (14;4),(8;18) і (18;8) тощо.

Отже, пряма y=x — вісь симетрії гіперболи y=1/x (так само, як і y=−x).

Теоретичний матеріал у підручнику на стор.69

Класна робота

№319 стор. 74

№320

№322

№324

№326

№ 328

Для закріплення вивченого матеріалу виконайте онлайнвправу.

Домашня робота

№ 321, № 323, №325, №329 стор.74