Елементи комбінаторики. Правила суми та добутку.

Комбінаторика - це розділ математики, який вивчає способи розв'язування задач на вибірки.

Правило суми.

Якщо деякий елемент А можна вибрати $n$ способами, деякий елемент В можна вибрати $m$ способами, то елемент А АБО В можна вибрати $m+n$ способами.

Приклад.

У кав'ярні є вибір з 3 видів кави і 5 видів чаю. Скільки існує способів вибрати каву або чай? (під способом мається на увазі один вид напою: 1 спосіб - еспресо, 2 спосіб - лате, 3 спосіб - капучіно)

Поскільки нам потрібно один вид напою ( в задачі є слово або), то застосовуємо правило суми. Існує 3+5 =8 способів вибору кави або чаю.

Правило добутку.

Якщо деякий елемент А можна вибрати $n$ способами, деякий елемент В можна вибрати $m$ способами, то елемент А та В можна вибрати $m\cdot n$ способами.

Приклад.

У кав'ярні є вибір з 8 видів напоїв та 7 видів десертів. Скільки існує способів вибрати напій і десерт?

Поскільки нам потрібно напій і десерт одночасно ( в задачі є слово і (та)), то застосовуємо правило добутку. Існує $8\cdot7=56$ способів вибору напою та десерту.

1 спосіб: еспресо та макарун

2 спосіб: еспресо та тістечко

3 спосіб: чай та оладка

4 спосіб: чай та макарун

...

Приклад розв'язування задач на складання чисел.

Скільки п'ятицифрових чисел можна скласти з цифр $1,2,3,4,5,6,7,8,9$. щоб жодна цифра не повторювалась ? ( це значить, можна скласти число 37625, 92431, 12345 і так далі, але не можна скласти 33344, 15231)

1. Рисуємо 5 рисок , тобто місця для наших п'яти цифр.

2. На першому місці можна розмістити будь-яку цифру, тобто способів розміщення першої цифри 9

3. Поскільки цифру 9 ми вже використали, то на другому місці можна розмістити 8 цифр

4. Поскільки дві цифри ми вже використали, то на третьому місці можна розмістити 7 цифр

5. Так само на четвертому місці розміщується 6, а на останньому 5 цифр.

6. Поскільки ціфри записуються разом , то використовуємо правило добутку. $9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5=15120$ чисел.

Скільки п'ятицифрових чисел можна скласти з цифр $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ ? В даній задачі цифри можуть повторюватись.

1. Рисуємо 5 рисок для позначення місць кожної цифри.

2. На першому місці можна розмістити будь-яку цифру, тобто всього варіантів 9 .

3. На другому місці можна знову розмістити будь-яку цифру ( можуть повторюватись), тобто цифр знову 9 .

4. І так на кожному місці варіантів буде 9.

5. Перемножимо всі варіанти ( правило добутку) $9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9=59049$

Добуток натуральних чисел від $1$ до $n$ називають факторіалом і позначають $n!$.

$4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24$

$8!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8$

Приклад.

Скоротити дріб $\frac{6!}{5!}$.

$\frac{6!}{5!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=$$=6$