Дослідження функцій за допомогою похідної.

Доброго дня, шановні діти! Запрошую вас на урок алгебри.

Тема уроку: Дослідження функцій за допомогою похідної

Почнемо за посиланням:

https://us05web.zoom.us/j/5283361462?pwd=NFk4QW1rSGNhRExFVkR4WkM3aUxRdz09

Ідентифікатор конференції: 528 336 1462

Код доступу: 12345

Дослідження функцій за допомогою похідної

• З а д а ч а 1. Подайте число 8 у вигляді суми двох невід’ємних чисел так, щоб сума куба першого числа та квадрата другого числа була найменшою.

Розв’язання. Нехай перше число дорівнює x, тоді друге число дорівнює 8 – x. З умови випливає, що

хЄ [0; 8]

Розглянемо функцію f (x) = x³ + (8 – x)² = x³ + 64 – 16x + x²

, визначену на проміжку [0; 8], і знайдемо, при якому значенні x вона набуває найменшого значення.

Маємо: f̕ (x)  =  3 x ² +2x −16

Розв’яжемо рівняння 3x² + 2x – 16 =0

Отримуємо: x = 2 або x = − 8

Серед знайдених коренів проміжку [0; 8] належить тільки число 2. Маємо:

f (2) = 44,  f (0) = 64,  f (8) = 512.

Отже, функція f набуває найменшого значення при x = 2.

Відповідь: 8 = 2 + 6. 

• Впр. 21.5. стор. 119.

Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці його перетину з віссю абсцис:

1) f (x) = 8x³ -1

Знайдемо точку перетину з віссю абсцис: f (x)=0.

8x³ -1=0;    8x³ =1;   x³ =1/8;    х=1/2.

х₀ =1/2

у= f (x₀)+  f̕ (x₀)(x- x₀)- загальний вигляд рівняння дотичної

1. f (x₀)=8(1/2)³ -1=0

    2. f̕ (х)= 24х²

   3. f̕ (x₀)= 24(1/2)²  =24*1/4=6

f̕ (x₀)=6(х-1/2)=6х-3 - рівняння дотичної.

• Складіть рівняння дотичної до графіка функції

у=х³-6х² у точці з абсцисою х₀ = -1

Домашнє завдання:

• Знайдіть екстремуми функції:

у=1/3х³-2х²

• • Подайте число 12 у вигляді суми двох  таких невід’ємних  чисел, щоб добуток квадрата одного із цих чисел і подвоєного  другого числа був найбільшим.