Арифметична прогресія та її властивості

Перегляньте відеоурок

Опрацюйте теоретичний матеріал. Зробіть опорний конспект у зошиті.

Означення арифметичної прогресії

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те ж число.

Це число називається різницею арифметичної прогресії і позначається d (d – початкова буква латинського слова differentia – різниця )

Тоді арифметичну прогресію можна задати рекурентною формулою:

а_n+1 = a_n + d, звідки d = a_n+1 - a_n

Приклад 1: 1; 4; 10; 13; 16; 19; 22; …

У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число 3, тобто d = 3.

Приклад 2: -2; -4; -6; -8; -10;…

У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число -2, тобто d = -2.

Наведіть свій приклад арифметичної прогресії

Формула n – го члена арифметичної прогресії

Нехай перший член арифметичної прогресії а₁, d – різниця. Тоді за означенням арифметичної прогресії :

а₂ = а₁ + d;

а₃ = а₂ + d = ( а₁ + d ) + d = а₁ + 2d;

а₄ = а₃ + d = ( а₁ + 2d ) + d = а₁ + 3d;

а₅ = а₄ + d = ( а₁ + 3d ) + d = а₁ + 4d.

Помічаємо, що у цих формулах коефіцієнт при d на 1 менший від порядкового номера члена прогресії. Отже можна записати:

а_n = а₁ + ( n -1 )d - формула n – го члена арифметичної прогресії.

Застосування формули n – го члена для знаходження довільного її члена

Приклад: Знайти дев′ятий член арифметичної прогресії ( а_n ): 5; 4,2; 3,4; …

Розв’язання:

Маємо: а₁ = 5. Знайдемо різницю прогресії: d = 4,2 – 5 = - 0,8. Тоді

а₉ = а₁ +8d, а₉ = 5 + ( - 0,8 ) ∙ 8 = - 1,4.

Завдання: Знайти вісімнадцятий член арифметичної прогресії: 1; 1,3; 1,6;…

Застосування формули n – го члена для знаходження її першого члена

Приклад: Знайти перший член арифметичної прогресії ( а_n ), у якій d = - 2, а₈ = 93.

Розв’язання:

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 8:

а₈ = а₁ + 7d і підставимо відомі значення: 93 = а₁ + 7 ∙ ( – 2 ),

93 = а₁ – 14,

а₁ = 93 + 14,

а₁ = 107.

Завдання: Знайти перший член арифметичної прогресії, якщо її різниця дорівнює 0,5, а дев’ятий член 3.

Застосування формули n – го члена для знаходження різниці арифметичної прогресії

Приклад: Знайти різницю арифметичної прогресії ( а_n ), у якій а₁ = 10, а₅ = 22.

Розв’язання:

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 5:

а₅ = а₁ + d( n – 1 ) і підставимо відомі значення: 22 = 10 + d ∙ 4,

4d = 22 – 10,

4d = 12,

d = 3.

Завдання: Знайти різницю арифметичної прогресії ( а_n ), у якій а₁ = 28, а₁₅ = - 21.

Застосування формули n – го члена для знаходження номера її члена

Приклад: Чи є число 181 членом арифметичної прогресії, у якій а₁ = 3, d = 5?

Розв’язання:

Число 181 буде членом прогресії, якщо існує таке натуральне число n - порядковий номер члена прогресії, що а_n = 181.

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії: а_n = а₁ + ( n -1 )d

181 = 3 + ( n – 1 ) ∙ 5,

181 = 3 + 5n – 5,

181 = 5n – 2,

5n = 181 + 2,

5n = 183,

n = 36,6.

Число 36,6 не є натуральним, тому число 181 не є членом арифметичної прогресії.

Первинне осмислення та сприйняття отриманих знань. Надрукувати у даному блоці арофметичні прогресії за даними таблиці.

Виконайте інтерактивну вправу