Алгебра 11. Пастки НМТ: Відношення. Пропорції. Відсотки.

Пропорції: Пряма vs Обернена

Перед розв'язанням став собі запитання: «Якщо одна величина зросте, що станеться з іншою?»

Приклад 1.

Швидкість автомобіля дорівнює 80 км/год, і він долає шлях між містами за 3 години. З якою швидкістю має їхати автомобіль, щоб подолати цей самий шлях за 2,4 години?

Якщо ми хочемо витратити менше часу, швидкість має бути більшою. Це обернена залежність.

Схема:

$80\text{ ^^^43a^^^43c/^^^433^^^43e^^^434}\longrightarrow{}\text{ 3^^^433^^^43e^^^434}$

$x\text{ ^^^43a^^^43c/^^^433^^^43e^^^434}\longrightarrow{}2,4\text{ ^^^433^^^43e^^^434}$

Рівняння: $$S = v \cdot t$$

$$x \cdot 2,4 = 80 \cdot 3$$

$$2,4x = 240$$

$$x = 240 : 2,4 = 2400 : 24 = 100$$ (км/год).

Відповідь: 100 км/год

Приклад 2.

З 12 кг свіжих яблук отримують 3,6 кг сушених. Скільки кілограмів свіжих яблук потрібно взяти, щоб отримати 5,4 кг сушених?

Чим більше ми візьмемо свіжих яблук, тим більше отримаємо сушених. Обидві величини змінюються в одному напрямку — це пряма пропорційність.

Складаємо схему:

$$12 \text{ кг свіжих} \text{ --- } 3,6 \text{ кг сушених}$$

$$x \text{ кг свіжих} \text{ --- } 5,4 \text{ кг сушених}$$

Записуємо пропорцію та розв'язуємо «хрест-навхрест»:

$$\frac{12}{x} = \frac{3,6}{5,4}$$

$$x = \frac{12 \cdot 5,4}{3,6}$$

Відповідь: 18 кг

Відсоткові "Пастки"

❌ Помилка №1: Додавання відсотків

Ситуація: Ціна зросла на $$20\%$$, а потім ще на $$10\%$$.

• Як НЕ треба: $$20\% + 10\% = 30\%$$. (Це неправильно!)

• Як ТРЕБА: Використовуй множники (коефіцієнти):

  • Зросла на $$20\% \rightarrow \times 1.2$$

  • Зросла на$$10\% \rightarrow \times 1.1$$

  • Разом: $1.2\cdot1.1=1.32(зросла,на32\%)$

❌ Помилка №2: Повернення до початкової ціни

Щоб скасувати знижку $$20\%$$, треба підняти ціну не на $$20\%$$, а на більше!

• Було $$100$$ грн $$\rightarrow$$Стало $$80$$ грн.

• Щоб із $$80$$ зробити $$100$$, треба додати $$20$$ грн.

• А $$20$$ грн від $$80$$ — це $$25\%$$.

Приклад3.

Ціна на планшет спочатку зросла на 25%, а потім знизилася на 20%. Як змінилася початкова ціна?

Розв’язання: Нехай початкова ціна — $$100$$.

Після зростання: $$100 + 25\% = 125$$.

Після зниження: $$125 - 20\%$ від $125$$. Оскільки $$20\% = \frac{1}{5}$$, то знижка становить $$125 : 5 = 25$$.

Нова ціна: $$125 - 25 = 100$$.

Відповідь: Не змінилася.

ТОП-порада для НМТ:

Якщо в задачі немає конкретних чисел (наприклад: «Ціну знизили на $$x\%$$»), підстав замість початкового значення число 100. Зі ста відсотками працювати найлегше!

Схема для задач на суміші

Завжди працюй через масу чистої речовини (сіль, цукор, кислота).

Приклад 4.

До 300 г розчину, що містить 10% цукру, додали 60 г цукру. Якою стала нова концентрація?

Розв’язання:

1. Маса цукру спочатку: $$300 \cdot 0.1 = 30$$ г.

2. Маса цукру після додавання: $$30 + 60 = 90$$ г.

3. Загальна маса нового розчину: $$300 + 60 = 360$$ г.

4. Нова концентрація: $$\frac{90}{360} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$$.

Відповідь: 25%.

Масштаб: переведення одиниць

На НМТ часто дають масштаб у см, а відстані в км.

$$1:500\,000$$ означає: в $$1$ см — $500\,000$$ см.

Лайфхак:

Закреслити 2 нулі — перейдеш у метри $($5\,000$ м)$.

Закреслити 5 нулів — перейдеш у кілометри $($5$ км)$.

Приклад 5.

Відстань між двома містами на місцевості дорівнює 180 км. Яка відстань між ними на карті з масштабом $$1:3\,000\,000$$? Відповідь дайте в сантиметрах.

Читаємо масштаб: $$1:3\,000\,000$$ означає, що $$1$$ см на карті відповідає $$3\,000\,000$$ см на місцевості.

Переводимо масштаб:

Закреслити 2 нулі — отримаємо метри: $$30\,000$$ м.

Закреслити ще 3 нулі (разом 5) — отримаємо кілометри: $$30$$ км.

Отже, в $$1$$ см на карті — $$30$$км.

Складаємо пропорцію:

$$1 \text{ см} \text{ --- } 30 \text{ км}$$

$$x \text{ см} \text{ --- } 180 \text{ км}$$

$$x = 180 : 30 = 6 \text{ (см)}.$$

Відповідь: 6 см.