9 клас. Урок 43. Сума перших n членів арифметичної прогресії

Як рахував Гаусс?

Розповідають, що незвичайні здібності видатного німецького математика Карла Фрідріха Гаусса (1777-1855) почали виявлятися вже в ранньому віці.

Якось учитель дав учням досить складне завдання з арифметики: відшукати суму ста натуральних послідовних чисел.

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв'язав задачу. Коли вчитель проглянув розв'язання, то побачив, що малий Гаус винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії. Видатний німецький математик Карл Гаус (1777 – 1855) розв’язав цю задачу у віці 5 років.

Як він це зробив?

Відповідь можна отримати безпосереднім складанням чисел. Проте такий спосіб рішення дуже трудомісткий. Спробуємо знайти потрібний результат інакше.

Запишемо суму натуральних чисел від 1 до 100 двічі, розташувавши в першому випадку доданки в порядку зростання, а в другому – в
порядку убування:

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.

Легко помітити, що сума пар чисел, розташованих один під одним, одна і та ж:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 98 + 3 + 99 + 2 = 100 + 1.

Кожна така пара чисел в сумі дасть 101, число пар дорівнює 100. Тому

Скористаємося аналогічним прикладом для виведення формули суми n перших членів арифметичної прогресії.
Позначимо суму n перших членів арифметичної прогресії (a_n) через S_n, і випишемо цю суму двічі, помінявши в другому випадку порядок доданків на зворотний:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-2 + a_n-1 + a_n,

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 + … + a₃ + a₂ + a₁.

Складемо почленно цю рівність:

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + (a₃ + a_n-2) +… + (a_n-2 + a₃) + (a_n-1 + a₂) + (a_n + a₁).

У правій частині рівності сума кожної пари чисел рівна a₁ + a_n.

Дійсно,

a₂ + a_n-1 = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n;

a₃ + a_n-2 = (a₂ + d) + (a_n-1 – d) = a₂ + a_n-1,

але a₂ + a_n-1 = a₁ + a_n,

отже, a₃ + a_n-2 = a₁ + a_n

і так далі.

Число таких пар рівне n. Тому 2S_n = (a₁ + a_n)×n.

Звідси:

Сума n перших членів арифметичної прогресії дорівнює

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ

№17.1

Чому дорівнює сума семи перших членів арифметичної прогресії (a_n), якщо а₁ = 9 і а₇ = 15?

№17.3

Знайдіть суму дванадцяти перших членів арифметичної прогресії, у якої а₁ = -6 і d = 4.

№17.5

Місця в секторі цирку розташовано так, що в першому ряду 6 місць, а в кожному наступному на 3 місця більше, ніж у попередньому. Скільки місць у секторі, якщо в ньому 16 рядів?

№17.7

Арифметичну прогресію (а_п) задано формулою п-го члена а_п = -4п + 1. Знайдіть суму тридцяти двох перших членів прогресії.

№17.9

Знайдіть суму дванадцяти перших членів арифметичної прогресії (а_п), якщо:

1) а₁ = 6, а₉ = 22;

2) а₆ = 49, а₂₀ = 7.

№17.13

Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії (а_п), якщо:

а₆ + а₈ - а₁₄ = -17 і а₅ + а₂₂ = 101.

№17.15

При будь-якому n сума n перших членів деякої арифметичної прогресії можна обчислити за формулою

S_n = 3n² + 5n.

Знайдіть три перших члени цієї прогресії.

Домашнє завдання:

Вивчити п. 17, виконати №17.2; 17.4; 17.8; 17.14; 17.16.