8_Раціональні рівняння

Раціональні рівняння

Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені або кожне з рівнянь не має коренів.

Властивості рівносильних рівнянь:

1) Якщо до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

2) Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

3) Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Рівняння, ліва й права частини якого є раціональними виразами, називають раціональним.

Область визначення рівняння (ОВР)

Ці значення утворюють область визначення рівняння (ОВР), або область допустимих значень (ОДЗ) змінної у рівнянні.

Умови рівності дробу нулю

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

1. Використання умови рівності дробу нулю

1) За допомогою тотожних перетворень звести рівняння до вигляду $\frac{P}{}$ = 0,

2) розв’язати рівняння P = 0;

3) виключити з його коренів ті, для яких знаменник Q дорівнює нулю, і записати відповідь.

Відповідь: 3.

2. Використання основної властивості пропорції

1) Знайти область визначення рівняння (ОВР);

2) звести рівняння до вигляду $\frac{P}{Q}$ = $\frac{M}{N}$ ;

3) записати ціле рівняння P ∙ N = M ∙ Q і розв’язати його;

4) виключити з отриманих коренів ті, що не належать ОВР, і записати відповідь.

;

;

;

Відповідь: 4.

3. Метод множення обох частин рівняння на спільний знаменник дробів

1) Знайти ОВР;

2) знайти найпростіший спільний знаменник дробів, що входять у рівняння;

3) помножити обидві частини рівняння на цей спільний знаменник;

4) розв’язати одержане ціле рівняння;

5) виключити з його коренів ті, що не належать ОВР, і записати відповідь.

;

;

;

;

;

х(х - 12) = 0;

х = 0 або х - 12 = 0;

х = 12.

Відповідь: 0; 12.

Розв’яжіть рівняння $\frac{x}{x+2}=0$.

Розв’яжіть рівняння $\frac{2x-8}{x+4}=0$.

Розв’яжіть рівняння $\frac{x}{x+2}=\frac53$.

Розв’яжіть рівняння $\frac{5}{x-2}=\frac{3}{x+4}$.