8 клас. Геометрія. Урок 9. Ознаки паралелограма. Розв’язування задач і вправ. Самостійна робота № 1

Ознака паралелограма за діагоналями

Запам'ятайте!

Теорема (ознака паралелограма за діагоналями)

Якщо діагоналі чотирикутника точкою їх перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник — паралелограм.

Дано: АВСD — чотирикутник, О — точка перетину його діагоналей і ВО = ОD, АО = ОС.

Довести: АВСD — паралелограм.

Доведення

1. Розглянемо ∆BОC і ∆DОА. У них ВО = ОD, АО = ОC за умовою, ∠ВОC = ∠DОА як вертикальні.

2. Отже, ∆BОC = ∆DОА (за двома сторонами та кутом між ними).

3. Із рівності трикутників випливає: ВС = АD і ∠ОВC = ∠ОDА.

4. Але кути ОВC і ОDА — внутрішні різносторонні при прямих ВC і АD та січній ВD. Тому BC || AD.

5. Оскільки в чотирикутнику ABCD BC = AD і BC || AD, то цей чотирикутник — паралелограм.

Щоб установити, що чотирикутник – паралелограм, доведіть, що в ньому:

• або протилежні сторони попарно паралельні (означення паралелограма), АВ || DС і АD || ВС,

• або протилежні сторони попарно рівні (ознака паралелограма, АВ = DС і АD = ВС,

• або дві протилежні сторони рівні й паралельні (ознака паралелограма), AB = DC і AB || DC,

• або діагоналі точкою їх перетину діляться навпіл (ознака паралелограма), ВО = DО і АО = СО

№194

Інтерактивна вправа

№197

Чи є чотирикутник паралелограмом, якщо три його кути дорівнюють:

1. 20°, 60°, 110°;

2. 60°, 60°, 120°?

№202

На сторонах АВ, ВС, СD і АD паралелограма АВСD позначено точки E, M, K і N відповідно і так, що BM = DN, BE = DK. Доведіть, що EMKN — паралелограм.

№204

У паралелограмі АВСD точка М — середина сторони АD, а N — середина сторони ВС. Доведіть, що ВNDМ — паралелограм.

№206

АВСD — паралелограм, ОМ = ОN. Доведіть, що МВND — паралелограм.

Самостійна робота

Варіант 1

Завдання 6. Доведіть, що ABCD – паралелограм.

Самостійна робота

Варіант 2

Завдання 6. Доведіть, що ABCD – паралелограм.

Домашнє завдання:

1. Вивчити конспект § 3.

2. Виконати № 195, 198, 203, 207.