8 клас. Алгебра. Урок 8. Раціональний дріб. Основна властивість раціонального дробу. Експрес-контроль № 3

Раціональний дріб

Ситуація. Оксана відвідує заняття ансамблю народного танцю «Черкащанка». Перші t хвилин заняття займає розминка, потім на 10 хв довше триває розтяжка. За тим х хвилин танцюристи відпрацьовують елементи хореографічних постановок. Останні 5 хвилин заняття підводять підсумки. Сергій знайшов, яку частину заняття відведено на розминку і розтяжку, і подав результат у вигляді виразу.

Як міркував Сергій?

Знайшов відношення часу розминки і розтяжки до тривалості усього заняття.

За умовою задачі 2t + 10 хв – час розминки і розтяжки; 2t + x + 15 хв – тривалість усього заняття.

Тому Сергій отримав дробовий раціональний вираз (2t + 10) : (2t + x + 15).

Цей вираз є часткою від ділення многочлена на многочлен. Якщо його подати як вираз $\frac{2t+10}{2t+x+15}$, то отримаємо

раціональний дріб.

Раціональний дріб – це дріб, чисельний і знаменник якого є многочленами.

Чисельником і знаменником раціонального дробу може бути одночлен або число.

Наприклад, раціональними дробами є дроби: $\frac56;$ $\frac{2a+1}{7b};$ $\frac{x-7}{6;}$ $\frac{9}{n^3+n^2-n}.$

Чи може раціональний дріб бути цілим виразом?

Наприклад, раціональний дріб $\frac{x-7}{6;}$ не містить ділення на вираз зі змінною, тому він є цілим раціональним виразом.

Дробовий раціональний вираз, який є сумою чи різницею кількох раціональних дробів, не можна вважати раціональним дробом.

Наприклад, вираз $\frac{2a+1}{7b}+\frac{c^2-3}{2b}$ є дробовим раціональним виразом, але не є раціональним дробом.

Однак, шляхом тотожних перетворень цей вираз можна звести до вигляду раціонального дробу.

Зв’язок між цілими і дробовими виразами, а також раціональними дробами

Основна властивість раціонального дробу

Повторюємо

Якщо чисельник і знаменник звичайного дробу помножити або поділити на одне й те саме натуральне (або ненульове) число, то отримаємо дріб, який дорівнює даному.

Наприклад, $\frac25=\frac{2\cdot3}{5\cdot3}=\frac{6}{15}$ або $\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac23$

Чи можна застосувати основну властивість дробу до раціональних дробів?

Раціональний дріб можна позначати так: $P=\frac{A}{B},$ де А і В — многочлени.

Основна властивість раціонального дробу

Значення раціонального дробу не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на той самий многочлен, який тотожно не дорівнює нулю.

$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}$ i $\frac{A}{B}=\frac{A:C}{B:C},$ якщо многочлен $C\neq0.$

Дріб $\frac{A}{B}$ можна записати ще й так: $\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}=-\frac{-A}{B}=-\frac{A}{-B}.$

Приклад.

Поділіть чисельник і знаменник дробу $\frac{14m}{7m^3}$ на вираз $7m$, що тотожно не дорівнює нулю. Який дріб при цьому одержимо?

1. Знаходимо ОДЗ даного дробу: $m\neq0.$

2. Застосовуємо основну властивість дробу: $\frac{14m}{7m^3}=\frac{14m:7m}{7m^3:7m}=\frac{2}{m^2}.$

Усі тотожні перетворення раціональних дробів виконують на ОДЗ їхніх змінних;

• якщо чисельник і знаменник раціонального дробу помножити на многочлен, який тотожно не дорівнює нулю, то ОДЗ змінних дробу може «звузитися»;

• якщо чисельник і знаменник раціонального дробу поділити на многочлен, який тотожно не дорівнює нулю, то ОДЗ змінних дробу може розширитися.

Зверніть увагу!

Перетворення раціонального дробу на ОДЗ його змінних називають скороченням дробу.

Спільний множник чисельника і знаменника даного дробу називають співмножником чисельника і знаменника дробу.

Щоб скоротити раціональний дріб, потрібно:

1. Знайти співмножник чисельника і знаменника дробу

2. Поділити на нього чисельник і знаменник дробу згідно з основною властивістю дробу.

Для знаходження співмножника дробу використовують різні способи розкладання на множники чисельника і знаменника дробу:

• винесення спільного множника за дужки,

• формули скороченого множення,

• групування.

Чи завжди можна скоротити раціональний дріб?

Якщо в чисельнику і знаменнику дробу не можна виділити однакові множники, то цей дріб скоротити не можна. Такий дріб називають нескоротним дробом.

Дріб $\frac{a+3}{a}$ є нескоротним. Цей дріб не можна скорочувати на $a$.

№87

Домножте чисельник і знаменник дробу $\frac{x-1}{2}$ на:

1. $x;$

2. $5;$

3. $x^2;$

4. $2x^3;$

5. $8;$

6. $x+1.$

Запишіть одержаний дріб.

№89

Поділіть чисельник і знаменник дробу $\frac{6x^2y^3}{24xy^4}$ на:

1. $6;$

2. $2x;$

3. $3y;$

4. $6xy;$

5. $3xy^3;$

6. $2xy^2.$

Запишіть одержаний дріб.

№93

Інтерактивна вправа

№94

Скоротіть дріб:

1. $\frac{30x^3y^3}{5xy};$

2. $\frac{14a^5b^4c^3}{21abc^2};$

3. $\frac{15ab^3}{10bc^2};$

4. $\frac{6a^2b}{18ab^2};$

5. $\frac{48x^2y^3}{16axy};$

6. $\frac{24a^3b}{32ab^3}.$

Домашнє завдання:

Вивчити конспект § 2. Виконати: №88, 90, 95