7 клас. Алгебра. Урок 96. Повторення теми «Вирази і тотожності»

Числові вирази

Вирази зі змінними

Якщо вираз містить лише дії додавання, відніман­ня, множення, ділення і піднесення до квадрата, куба чи іншого степеня з натуральним показником, то такий вираз називають раціональним.

Раціональні вирази, своєю чергою, поді­ляють на цілі й дробові вирази.

Вираз називається цілим, якщо він не містить дію ділення на вираз зі змінними.

У цілого раціонального виразу ОДЗ кожної змінної — будь-яке число.

Цілі раціональні вирази використовують для запису формул.

Перетворення виразів

Тотожність

Степінь з натуральним показником

У виразах, що містять степені, спочатку виконують:

• піднесення до степеня,

• потім — множення або ділення,

• останніми — додавання або віднімання.

Дії зі степеня з однаковими основами

$a^5\cdot a^3=\left(a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\right)\cdot\left(a\cdot a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^8$

Основна властивість степенів

Добуток двох степенів з рівними основами дорівнює степеню з тією ж основою і показником, що дорівнює сумі показників множників:

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

Правило множення степенів: при множенні степенів з однаковими основами основу залишають тією самою, а показники степенів додають.

Наприклад:$x^2\cdot x^5=x^{2+5}=x^7$

Властивість частки степенів з однаковими основами

Правило ділення степенів: при діленні степенів з однаковими основами основу залишають тією самою, а показники степенів віднімають.

Наприклад: $a^7:a^3=a^{7-3}=a^4$

Піднесення степеня до степеня

Для степеня з показником m його n-й степінь дорівнює степеню з тією ж основою і показником mn:

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$

Правило піднесення степеня до степеня: при піднесенні степеня до степеня показники степенів перемножуються, а основа залишається без змін.

Наприклад:$\left(3^2\right)^4=3^{2\cdot4}=3^8$

Піднесення добутку та частки до степеня

При піднесенні добутку до степеня потрібно піднести до степеня кожний множник, а результати перемножити.

(ab)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ

де а, b - будь-які числа, n - натуральне число.

Наприклад:$\left(2x^3\right.y^2)^3=2^3\cdot\left(x^3\right)^3\cdot\left(y^2\right)^3=8x^9y^5$

При піднесенні дробу до степеня потрібно окремо піднести до степеня чисельник та знаменник, а результати відповідно записати у чисельник та знаменник нового дробу:

$(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$, де b ≠ 0, n - натуральне число.

Наприклад:$\left(\frac{c^2}{d^3}\right)^4=\frac{\left(c^2\right)^4}{\left(d^3\right)^4}=\frac{c^8}{d^{12}}$

№2

Знайдіть значення виразу:

1. $18-10\frac56\cdot1\frac{13}{35}+6\frac{5}{14};$

2. $5\frac47\cdot2\frac{9}{13}-1\frac23:\left(4\frac29-2\frac56\right);$

3. $\left(3\frac23-1\frac27\cdot5\frac49\right):\left(-2,5\right)$

№3

Обчисліть найбільш раціональним способом:

1. $1,64\cdot4,8+4,8\cdot3,36;$

2. $5,32\cdot3,1-3,32\cdot3,1;$

3. $3\frac25\cdot2\frac37\cdot5\cdot7;$

№4

У 7-А класі навчається 20 учнів, у 7-Б класі — на 3 учні менше, ніж у 7-А класі, а в 7-В класі — на 5 учнів більше, ніж у 7-Б класі. Скільки всьо­го учнів навчається у цих класах? Складіть чис­ловий вираз для розв’язування задачі та знайдіть його значення.

№40

Спростіть вираз $(a\neq0,b\neq0,x\neq0,y\neq0):$

$1)\left(x^4\right)^2\cdot\left(x^5\right)^6\cdot x^3x^6:\left(x^3\right)^{10};$

$3^{})\left(a^7\right)^4\cdot\left(a^6:a^4\right)^2\cdot\left(a^5:a^4\right)^3;$

$5^{})\left(a^{12}a^4\right)^3-\left(aa^5\right)^8;$

$7)\left(\left(-y^2\right)^2\cdot x^3\right)^6\cdot x:\left(-x^4\cdot y^9\right);$

$9)\frac{\left(a^5\cdot b^2\right)^3\cdot a^{23}}{b\cdot\left(a^{18}:a^8\right)^3}$

Домашнє завдання:

Повторити § 1-6, виконати с. 297 № 2 (4), 3 (4), 5, 40 (2, 4, 6, 8, 10)