7 клас. Алгебра. Урок 18. Дії зі степенями. Самостійна робота

Основна властивість степенів

Добуток двох степенів з рівними основами дорівнює степеню з тією ж основою і показником, що дорівнює сумі показників множників:

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

Правило множення степенів: при множенні степенів з однаковими основами основу залишають тією самою, а показники степенів додають.

Наприклад:$x^2\cdot x^5=x^{2+5}=x^7$

Властивість частки степенів з однаковими оновами

Правило ділення степенів: при діленні степенів з однаковими основами основу залишають тією самою, а показники степенів віднімають.

Наприклад: $a^7:a^3=a^{7-3}=a^4$

Піднесення степеня до степеня

Для степеня з показником m його n-й степінь дорівнює степеню з тією ж основою і показником mn:

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$

Правило піднесення степеня до степеня: при піднесенні степеня до степеня показники степенів перемножуються, а основа залишається без змін.

Наприклад:$\left(3^2\right)^4=3^{2\cdot4}=3^8$

Піднесення добутку та частки до степеня

При піднесенні добутку до степеня потрібно піднести до степеня кожний множник, а результати перемножити.

(ab)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ

де а, b - будь-які числа, n - натуральне число.

Наприклад:$\left(2x^3\right.y^2)^3=2^3\cdot\left(x^3\right)^3\cdot\left(y^2\right)^3=8x^9y^5$

При піднесенні дробу до степеня потрібно окремо піднести до степеня чисельник та знаменник, а результати відповідно записати у чисельник та знаменник нового дробу:

$(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$, де b ≠ 0, n - натуральне число.

Наприклад:$\left(\frac{c^2}{d^3}\right)^4=\frac{\left(c^2\right)^4}{\left(d^3\right)^4}=\frac{c^8}{d^{12}}$

№240

Винесіть за дужки $3^{n}:$

1. $3^{n}+3^{n+6};$

2. $3^{n}-2\cdot3^{2+n};$

3. $3^{n+5}+3^{n+1}.$

№242

Подайте степінь $5^{12}$ у вигляді степеня з основою:

1. $5^2;$

2. $5^3;$

3. $5^4.$

№243

Подайте степінь $4^{42}$ у вигляді степеня з основою:

1. $16;$

2. $64;$

3. $4^6;$

4. $4^7.$

№244

Знайдіть $m^{12},$ якщо $m^2$ дорівнює:

1. $10;$

2. $0,1;$

3. $\frac12;$

№246

1. $\left(\left(1\frac13\right)^2\right)^2;$

2. $\left(\left(1\frac12\right)^4\right)^2;$

3. $\left(\left(2\frac12\right)^2\right)^3.$

№247

Запишіть у вигляді степеня:

1. $8^4\cdot4^3;$

2. $\left(\frac14\right)^2\cdot0,25\cdot\left(\frac{1}{64}\right)^5;$

3. $0,0081\cdot0,3\cdot0,09.$

№248

Запишіть у вигляді степеня з основою $-2$:

1. $-8\cdot4;$

2. $-2\cdot4\cdot16;$

3. $-32\cdot\left(-2\right)\cdot64.$

№249

Запишіть у вигляді степеня з основою$0,5$:

1. $0,25\cdot0,125;$

2. $0,5\cdot\frac12\cdot\frac14;$

3. $0,00625\cdot2\cdot5.$

№251

Якою цифрою закінчується число:

1. $5^{45};$

2. $10^{23};$

3. $6^{10};$

4. $111^{222}.$

№252

Знайдіть значення виразу $a^2\cdot b^2$, якщо:

1. $a=27,b=-\frac{1}{54};$

2. $a=-36;b=-1\frac19.$

№254

Запишіть вираз у вигляді степеня:

1. $8\cdot0,3^2\cdot8^5\cdot0,3^4;$

2. $5^{14}\cdot0,01^8\cdot5^2\cdot0,01^8;$

3. $\left(\frac12\right)^2\cdot\left(-20\right)^4:0,5^2:10^4;$

4. $\left(\frac{5}{13}\right)^{65}\cdot\left(2\frac35\right)^{35}.$

№255

Спростіть вираз $\left(a\ne0,c\ne0,m\ne0,n\ne0\right):$

1. $\left(a^8c^4\right)^3:\left(a^6c^3\right)^2;$

2. $\left(n^{11}m^2\right)^3\cdot\left(nm^3\right)^2;$

3. $\left(a^5:c^2\right)^3\cdot\left(a:c^2\right)^2;$

4. $\left(n^7m^8\right)^3:\left(n^2m^2\right)^2;$

5. $\left(a^{15}a^4\right)^3\cdot\left(a^{10}a^3\right)^2;$

6. $\left(abc^2\right)^9:\left(a^3c\right)^2;$

7. $\left(n^{11}m^2p\right)^5\cdot\left(np\right)^2;$

8. $\left(4ac^2\right)^3:\left(2ac\right)^2;$

9. $\left(9n^8m^2\right)^3:\left(81n^4m^2\right);$

10. $\left(25a^4b^3\right):\left(5a^3b^2\right)^2.$

№257

Обчисліть:

1. $\frac{15^7}{9^3\cdot5^8};$

2. $\frac{42^6}{28^5\cdot9^3};$

3. $\frac{10^4\cdot18^5}{36^4\cdot5^3};$

4. $\frac{21^4\cdot40^3}{140^3\cdot15^4}.$

Самостійна робота

Варіант 1

1. Записати у вигляді степеня:

   а) с⁷ ∙ с ∙ с²;

   б) (х + у)¹¹ : (х + у)⁷

   в) а¹² : а⁴;

   г) (– 3хус)⁴;

   д) (у⁶)²;

   е) ((а³)²)⁵.

2. Знайти значення виразу:

а) 2¹⁸ : (2⁷)²;

б) (7⁸)² : (7³)⁵;

в) 11⁵ ∙ (11³)⁷ : 11²⁶;

г) 9² ∙ 27³;

д) (6¹² ∙ (6³)⁵) : ((6⁵)⁴ ∙ 6⁴);

е) (25⁴ ∙ 125¹⁰) : 5³⁷.

Самостійна робота

Варіант 2

1. Записати у вигляді степеня:

   а) с¹⁹ ∙ с ∙ с³;

   б) (х – у)¹⁵ : (х – у)¹¹

   в) а²³ : а¹⁷;

   г) (– 2dс)³;

   д) (у⁴)³;

   е) ((а⁷)³)².

2. Знайти значення виразу:

а) 2²⁴ : (2⁸)²;

б) (11³)⁴ : (11⁵)²;

в) 7⁹ ∙ (7²)⁶ : 7⁹;

г) 16² ∙ 8³;

д) (10¹⁷ ∙ (10²)³) : ((10³)⁴ ∙ 10⁹);

е) (9³ ∙ 81²) : 3¹².

Домашнє завдання:

Виконати №241, 245, 253, 256, 258