6 клас. Математика. Поділ числа в даному відношенні

Пропорційність має широке застосування в мистецтві, архітектурі, живописі, скульптурі. Вона означає додержання певних співвідношень між окремими частинами споруди, картини, скульптурного твору, що справляє найприємніше враження. Архітектуру часто називають «завмерлою музикою». Стародавні греки учення про відношення та пропорції називали музикою, яку вважали га­луззю математики. Художник, скульптор, архітектор, музикант, інженер - усі вони ознайомлені з пропорцією та її властивостями.

Розглянемо задачі, в яких вимагається поділити число або значення величини у даному відношенні, тобто на частини, пропорційні деяким числам. Такі задачі називають задачами на поділ числа у даному відношенні або задачами на пропорційний поділ.

Зразки розв'язування задач

Задача 1.

Сплав масою 30 кг складається із заліза і міді, які взято у відношенні 3 : 2. Скільки у сплаві заліза і скільки міді?

Розв’язання

І спосіб

Маси заліза і міді відносяться як 3 : 2, тобто до сплаву входить 3 частини заліза і 2 частини міді.

Всього маємо 3 + 2 = 5 (частин).

Оскільки п’яти частинам відповідає 30 кг, то на одну частину припадає

30 : 5 = 6 (кг).

Тоді заліза у сплаві 6 ∙ 3 = 18 (кг), а міді 6∙ 2 = 12 (кг).

Відповідь: 18 кг заліза і 12 кг міді.

II спосіб

Позначимо масу однієї частини буквою х. Оскільки заліза взято три частини, то його у сплаві х + х + х = 3х (кг), а міді взято дві частини, тому її у сплаві х + х = 2х (кг).

За умовою маємо рівняння 3х + 2х = 30;

5х = 30;

х = 6 (кг) — маса однієї частини,

тобто 6 ∙ 3 = 18 (кг) — взято заліза, 6 ∙ 2 = 12 (кг) — міді.

Відповідь. 18 кг заліза і 12 кг міді.

Часто число або значення величини необхідно поділити на три і більше частин. Наприклад;

1. Якщо число треба поділити на три частини, пропорційно числам 2, 3 і 4, то кажуть, що число треба поділити у відношенні 2 : 3 : 4;

2. Якщо відрізок треба поділити пропорційно числам 3, 7, 5 і 1, то кажуть, що відрізок треба поділити у відношенні 3 : 7 : 5 : 1.

Задача 2.

Між мамою, татом і їхнім сином поділили яблука у відношенні 2 : 1 : 3. Скільки яблук отримала мама і скільки тато, якщо син отримав 12 яблук?

Розв’язання

Оскільки трьом частинам відповідають 12 яблук, то на одну частину припадає

12 : 3 = 4 (яблука).

Отже, тато отримав 4 яблука, а мама — 4 ∙ 2 = 8 (яблук).

Відповідь: 4 яблука — тато, 8 яблук — мама.

Висновки:

1. Для того, щоб поділити число у заданому відношенні, наприклад у відношенні чисел a : b, потрібно ввести коефіцієнт пропорційності.

2. Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює x, тоді ми можемо записати числа ax і bx.

Задача 3

Поділіть число 420 у відношенні 2 : 3 : 7.

Розв’язання

Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді перше число 2х, друге - 3х і третє - 7х.

Отримаємо рівняння:

2х + 3х + 7х = 420

12х = 420

х = 420 : 12

х = 35

Знаходимо відповідні числа.

І число – 2 ∙ 35 = 70

ІІ число – 3 ∙ 35 = 105

ІІІ число – 7 ∙ 35 = 245

Відповідь: 70, 105, 245

Домашнє завдання:

Опрацювати п.15.1, виконати № 713, 715, 717, 719, 721.