11 клас. Алгебра. Урок 8. Показникові нерівності

Показникові нерівності

Найпростіші показникові нерівності:

• Розглянемо найпростішу показникову нерівність $a^x>b (a>0, a≠1, b>0)$

Нехай $b=a^c ⇒ a^x>a^c$ , у випадку $a>1$функція $y=a^{x}$ зростає

Більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу.

Отже, $a^x>a^c ⇒x>c$ Знак нерівності не змінюється

У випадку $0<a<1$ функція $y=a^x$ спадає.

Більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу

Отже, $a^x>a^c ⇒x<c$ Знак нерівності змінюється на протилежний

Теорема

Якщо $a>1$, то нерівність $a^f(x) >a^g(x)$рівносильна нерівності $f(x)>g(x);$;

Якщо $$$ 0<a<1 $$$, то нерівність $a^f(x) >a^g(x)$ рівносильна нерівності $f(x)<g(x);$

Методи розв'язування показникових нерівностей:

1. Метод зведення обох частин нерівності до степенів з однаковими основами

2. Метод уведення нової змінної

3. Функціонально-графічний метод

№3.1

Інтерактивна вправа

№3.2

Розв'яжіть нерівність:

1. $\left(\frac12\right)^{x}>\frac14;$

2. $5^{x}<\frac15;$

3. $11^{x-5}<11^{3x+1};$

4. $0,4^{6x+1}\ge0,4^{2x+5};$

5. $0,3^{4x-8}>1;$

6. $9^{1-3x}\le0$

№3.4

Розв'яжіть нерівність:

№3.6

Скільки цілих розв'язків має нерівність:

1. $0,2\le5^{x+4}\le125;$

2. $\frac{1}{36}\le6^{3-x}<6;$

3. $2<0,5^{x-1}\le32.$