11 клас. Алгебра. Урок 3. Показникова функція та її властивості

Показникова функція та її властивості

Функція виду $y=a^{x}$, де $a>0$ i $a\neq1$називається показниковою.

$y=2^{x}$ $y=\left(\frac12\right)^{x}$

Проаналізуємо графіки показникової функції при $a>1$ і $0<a<1$:

Чим більшою є основа, тим крутіше «піднімається» графік функції, якщо рухатися вправо.

Чим меншою є основа, тим крутіше «піднімається» графік функції , якщо точка рухається вліво.

Якщо за основу показникової функції взяти ірраціональне число $e=2,71828\ldots$, то така показникова функція називається експонентою.

Властивості показникової функції

1. Областю визначення показникової функції є множина дійсних чисел, тобто $D(f)=R$.

2. Областю значень показникової функції є множина $\left(0;+\infty\right)$, тобто $E(f)=(0;+\infty).$

3. Показникова функція не має нулів, і проміжок $(−\infty;+\infty)$ є її проміжком знакосталості.

4. При $a > 1$ показникова функція є зростаючою; при $0 < a < 1$ показникова функція є спадною.

5. Показникова функція є диференційовною.

Властивості степенів з дійсним показником

Для $a>0,$ $b>0$ та будь-яких дійсних $x$ і $y$ справедливі такі рівності:

1. $a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$

2. $a^{x}:a^{y}=a^{x-y}$

3. $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}$

4. $\left(ab\right)^{x}=a^{x}b^{x}$

5. $\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$

№1.3 (Усно)

Укажіть, які з даних функцій є зростаючими, а які — спадними:

№1.4

Побудуйте графік функції $y=3^{x}$. У яких межах змінюється значення функції, коли $x$ зростає від –1 до 3 включно?

№1.6

Порівняйте:

№1.8

Порівняйте із числом $1$ додатне число $a$, якщо:

№1.10

Обчисліть значення виразу:

Домашнє завдання:

Вивчити п. 1 (с. 6-8), виконати № 1.5; 1.7; 1.9; 1.11