11 клас. Алгебра. Урок 12. Логарифм та його властивості. Розв’язування вправ

Основна логарифмічна тотожність

Л о г а р и ф м о м додатного числа b з основою a, де a > 0 і a ≠ 1, називають показник степеня, до якого потрібно піднести число a, щоб отримати число b.

Логарифм числа b з основою a позначають $\log_{a}b$

Основна логарифмічна тотожність: $a^{\log_{a}b}=b$

Приклади.

$7^{\log_73}=3$, $0,3^{\log_{0,3}5}=5$

Основні властивості логарифмів

Теорема 1. (логарифм добутку) Логарифм ДОБУТКУ дорівнює СУМІ логарифмів.

• Якщо x > 0, y > 0, a > 0 і a ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$

Теорема 2. (логарифм частки) Логарифм ЧАСТКИ дорівнює РІЗНИЦІ логарифмів.

• Якщо x > 0, y > 0, a > 0 і a ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$

Теорема 3. (логарифм степеня)

• Якщо x > 0, y > 0, a > 0 і a ≠ 1, то для будь-якого $\beta\in R$ виконується рівність $\log_{a}x^{\beta}=\beta\log_{a}x$

Теорема 4. (перехід від однієї основи логарифма до іншої)

• Якщо a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, с ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

Наслідки:

1. Якщо a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

2. Якщо a > 0, a ≠ 1, b > 0, то для будь-якого b ≠ 0 виконується рівність $\log_{a^{\beta}}b=\frac{1}{\beta}\log_{a}b$

№4.11

Інтерактивна вправа

№4.13

Знайдіть значення виразу:

№4.15

Обчисліть:

№4.17

Обчисліть:

Домашнє завдання:

Вивчити конспект п. 4, виконати № 4.12; 4.14; 4.16; 4.18