11 клас. Алгебра. Урок 11. Логарифм та його властивості

Логарифм та його властивості

Який корінь має рівняння: $4^{x}=16$?

Який корінь має рівняння: $4^{x}=5$?

Графічний спосіб

Рівняння $4^{x}=5$ має єдиний корінь $x_0$

Цей корінь домовилися називати логарифмом числа 5 з основою 4 та позначати $\log_45$

Л о г а р и ф м о м додатного числа b з основою a, де a > 0 і a ≠ 1, називають показник степеня, до якого потрібно піднести число a, щоб отримати число b.

Логарифм числа b з основою a позначають $\log_{a}b$

Приклади.

$\log_39=2$, оскільки $3^2=9$

$\log_{17}17=1$, оскільки $17^1=17$

$\log_{100}1=0$, оскільки $100^0=1$

$\log_2\frac18=-3$, оскільки $2^{-3}=\frac18$

Логарифм від’ємного числа і нуля не існує.

Основна логарифмічна тотожність: $a^{\log_{a}b}=b$

Приклади.

$7^{\log_73}=3$, $0,3^{\log_{0,3}5}=5$

З означення логарифма випливає, що при a > 0 і a ≠ 1

$\log_{a}1=0$

$\log_{a}a=1$

Десятковий логарифм - це логарифм з основою 10.

Записують $\lg b$

Основні властивості логарифмів

Теорема 1. (логарифм добутку) Логарифм ДОБУТКУ дорівнює СУМІ логарифмів.

• Якщо x > 0, y > 0, a > 0 і a ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$

Теорема 2. (логарифм частки) Логарифм ЧАСТКИ дорівнює РІЗНИЦІ логарифмів.

• Якщо x > 0, y > 0, a > 0 і a ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$

Теорема 3. (логарифм степеня)

• Якщо x > 0, y > 0, a > 0 і a ≠ 1, то для будь-якого $\beta\in R$ виконується рівність $\log_{a}x^{\beta}=\beta\log_{a}x$

Теорема 4. (перехід від однієї основи логарифма до іншої)

• Якщо a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, с ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

Наслідки:

1. Якщо a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

2. Якщо a > 0, a ≠ 1, b > 0, то для будь-якого b ≠ 0 виконується рівність $\log_{a^{\beta}}b=\frac{1}{\beta}\log_{a}b$

№4.1

Інтерактивна вправа

№4.2

Знайдіть логарифм з основою 2 числа:

1. $1$;

2. $2$;

3. $32;$

4. $\sqrt2$;

5. $0,5;$

6. $\frac18;$

7. $\frac{1}{\sqrt2};$

8. $2\sqrt{2.}$

№4.4

Знайдіть логарифм з основою $\frac12$ числа:

1. $1;$

2. $2;$

3. $8;$

4. $0,25;$

5. $\frac{1}{16};$

6. $\frac{1}{\sqrt2};$

7. $\sqrt2;$

8. $64.$

№4.6

Знайдіть десятковий логарифм числа:

№4.7

Розв’яжіть рівняння:

№4.9

Розв’яжіть рівняння:

Домашнє завдання:

Вивчити конспект п. 4, виконати № 4.3; 4.5; 4.8; 4.10