10 клас. Алгебра. Урок 61. Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків

Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків

План дослідження властивостей функції

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність.

3. Знайти нулі функції.

4. Знайти проміжки знакосталості.

5. Знайти проміжки зростання і спадання.

6. Знайти точки екстремуму і значення функції в точках екстремуму.

7. Виявити інші особливості функції (періодичність функції, поведінку функції в околах окремих важли вих точок тощо).

Приклад

Дослідіть функцію $f\left(x\right)=\frac32x^2-\frac14x^3$і побудуйте її графік.

1. Функція визначена на множині дійсних чисел, тобто $D(f)=R$

2. Дослідимо функцію на парність. $f\left(-x\right)=\frac32\left(-x\right)^2-\frac14\left(-x\right)^3=\frac32x^2+\frac14x^3.$

   Оскільки $f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)$ i $f\left(-x\right)\ne-f\left(x\right),$ то дана функція не є ні парною, ні непарною.

3. Знайдемо нулі функції. $\frac32x^2-\frac14x^3=0;$ $6x^2-x^3=0;$ $x^2\left(6-x\right)=0;$ $x^2=0,$ або $6-x=0;$ тоді $x=0,$ $x=6.$

4. Знаходимо проміжки знакосталості: $f\left(x\right)>0$ при $x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(0;6\right)$ i $f\left(x\right)<0$ при $x\in\left(6;+\infty\right).$

   

5. Знаходимо проміжки зростання та спадання: $f^{\prime}\left(x\right)=3x-\frac{3x^2}{4};$ $3x-\frac{3x^2}{4}=0;$ $12x-3x^2=0;$ $3x\left(4-x\right)=0;$ $x=0,$ $x=4.$ Це критичні точки.

   $\uparrow\left\lbrack0;4\rbrack\right\rbrack$ $\downarrow\left(-\infty;0\rbrack\right)$ i $\left\lbrack4;+\infty\right)$

6. Знаходимо точки екстремуму і значення функції в точках екстремуму.

   $x_{\max}=4,x_{\min}=0;$ $f\left(4\right)=8;$ $f\left(0\right)=0.$

7. Побудуємо графік.

   

№15.1

Дослідіть дану функцію і побудуйте її графік:

1. $f(x)=3x-x^3-2;$

2. $f(x)=2x^3-3x^2+5;$

3. $f\left(x\right)=3x-\frac{x^3}{9};$

4. $f(x)=x^3-3x^2+2;$

5. $f(x)=\frac32x^2-x^3;$

6. $f(x)=x^4-2x^2+1;$

7. $f(x)=\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)^2.$

Домашнє завдання:

Опрацювати п.15, виконати № 15.2.