10 клас. Алгебра. Урок 6. Парні і непарні функції

Парні та непарні функції

Функцію y = f(x), x ∈ X називають парною, якщо для будь-якого значення x із множини X виконується рівність f(−x) = f(x).

Функцію y = f(x), x ∈ X називають непарною, якщо для будь-якого значення x із множини X виконується рівність f(−x) = −f(x).

Алгоритм дослідження функції y=f(x) на парність

• Потрібно встановити, чи симетрична множина D(f) — область визначення функції. Якщо ні, то зазначити, що функція є ні парною, ні непарною. Якщо так, то переходити до другого кроку алгоритму.

• Скласти вираз f(−x).

• Порівняти f(−x) та f(x):
  
  a) якщо f(−x) = f(x) для будь-якого x ∈ D(f), то функція парна;
  
  б) якщо f(−x) = −f(x) для будь-якого x ∈ D(f), то функція непарна;

  в) якщо хоча б в одній точці x ∈ D(f) виконується співвідношення f(−x)≠f(x) і хоча б в одній точці x ∈ D(f) виконується співвідношення f(−x)≠−f(x), то функція y = f(x) не є ні парною, ні непарною.

Якщо графік функції y = f(x) симетричний відносно осі ординат, то y = f(x) — парна функція.

Якщо графік функції y = f(x) симетричний відносно початку координат, то y = f(x) — непарна функція.

Приклади

Парна функція

Непарна функція

№111

Відомо, що f (7) = –16. Знайдіть f (–7), якщо функція f є: 1) парною; 2) непарною.

№112

Функція f є парною. Чи може виконуватися рівність:

№113

Функція f є парною. Чи обов’язково виконується рівність $\frac{f\left(1\right)}{f\left(-1\right)}=1?$

№116

Доведіть, що є парною функція:

№118

Доведіть, що є непарною функція:

№120

Дослідіть на парність функцію:

№122 (усно)

Парною чи непарною є функція, графік якої зображено на рисунку?

№123

На рисунку зображено частину графіка функції y = f (x), визначеної на проміжку [–5; 5]. Добудуйте графік цієї функції, якщо вона є:

1) парною;

2) непарною.

Домашнє завдання

Опрацювати п.4, виконати №114, 117, 119, 121.

Конспект