10 клас. Алгебра. Урок 54. Рівняння дотичної до графіка функції

Рівняння дотичної до графіка функції

Пригадаємо!

Похідна функції $f$ у точці $x_0$ – це число, яке дорівнює границі відношення приросту функції $\Delta y$ у точці $x_0$ до відповідного приросту аргументу $\Delta x$ за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

$f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Розглянемо функцію $y=f(x)$ , яка є неперервною в околі точки $x_0$. Така функція в точці $x_0$ має значення $f\left(x_0\right)$ .

Позначимо відповідну точку на кривій літерою $A$ .

Надамо нашій функції в точці $x_0$ певний приріст аргументу $\Delta x$

Функція при цьому отримає приріст $\Delta y$ , а на графіку функції отримаємо точку $B$

Побудуємо через точки $A$ і $B$ січну $AB$

Дана пряма утворить з додатним напрямком осі абсцис кут $\beta$

Розглянемо $∆ABC:$ $\tg\beta=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Будемо зменшувати $\Delta x.$ Спостерігаємо, що точка $B$ наближається до точки $A$, кут $\beta$ змінюється і коли точка $B$ суміщається з точкою $A$, то кут $\beta$ займає своє граничне значення, яке дорівнює $\alpha.$

Дотична в точці $\left(x_0;y_0\right)$ до графіка функції $y=f\left(x\right)$ – це граничне положення січної, що проходить через цю точку, коли $\Delta x\rarr0$.

Оскільки $\tg\alpha$ – це граничне положення $\tg\beta$, коли $\Delta x\rarr0$, то: $\tg\alpha=\lim_{\Delta x\rarr0}\tg\beta=\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)$

Рівняння прямої має вигляд $y=kx+b,$ $k\left(x_0\right)=\tg\alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)$

Рівняння дотичної до графіка функції $y=f\left(x\right)$у точці з абсисою $x_0$ має вигляд:

$y=f(x_0 )+f'(x_0 )(x-x_0 )$

№9.1

Складіть рівняння дотичної до графіка функції $f$ у точці з абсцисою $x_0$, якщо:

1. $f\left(x\right)=x^2+3x,$ $x_0=-1;$

2. $f\left(x\right)=x^3-27,$ $x_0=2;$

3. $f\left(x\right)=\frac{1}{x},$ $x_0=\frac12;$

4. $f\left(x\right)=4\sqrt{x}-3,$ $x_0=0;$

5. $f\left(x\right)=\sin x,$ $x_0=\pi;$

6. $f\left(x\right)=4\sqrt{x}-3,$ $x_0=9;$

7. $f\left(x\right)=\cos x,$ $x_0=\frac{\pi}{2};$

8. $f\left(x\right)=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$ $x_0=-2;$

9. $f\left(x\right)=\sqrt{2x+5},$ $x_0=2.$

№9.3

Запишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в точці його перетину з віссю ординат:

1. $f\left(x\right)=x^2-3x-3;$

2. $f\left(x\right)=\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right).$

№9.5

Складіть рівняння дотичної до графіка функції $f$ у точці його перетину з віссю абсцис:

1. $f\left(x\right)=8x^3-1;$

2. $f\left(x\right)=x-\frac{1}{x}.$

Домашнє завдання:

Опрацювати п.9, виконати № 9.2; 9.4; 9.6.