10 клас. Алгебра. Урок 50. Означення похідної. Геометричний та фізичний зміст похідної

Похідна функції

Похідною функції у точці називають число, яке дорівнює границі відношення приросту функції у точці до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

$f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$

Означення похідної можна записати інакше: $f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$

Похідну функції $f$у точці $x_0$можна обчислити за такою схемою:

1. надавши в точці $x_0$ аргументу приріст $∆x$, знайти відповідний приріст $∆f$ функці$\differencedelta f=f(x_0+\differencedelta x)-f(x_0)$;

2. знайти відношення $\frac{\Delta f}{\Delta x};$

3. з’ясувати, до якого числа прямує відношення $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $∆x → 0$, тобто знайти границю $\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$

Якщо функція має похідну в точці, то вона є диференційовною в цій точці.

Диференціювання функції – дія знаходження похідної функції.

Завдання 1 . Знайдіть похідну функції $f\left(x\right)=x^2$ у точці $x_0=8.$

1. Знайдемо приріст функції, що відповідає приросту аргументу: $\differencedelta f(x_0)=f(x_0+\differencedelta x)-f(x_0)$

   $\differencedelta f(x_0)=(8+\differencedelta x)^2-8^2=64+16\differencedelta x+\differencedelta x^2-64=16\differencedelta x+\differencedelta x^2$

2. Знайдемо відношення $\frac{\Delta f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ та спростимо його.

   $\frac{\Delta f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\frac{16\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left(16+\Delta x\right)}{\Delta x}=16+\Delta x$

3. Знайдемо границю функції: $f^{\prime}\left(8\right)=\lim_{\Delta x\rarr0}\left(16+\Delta x\right)=16.$

Формули для знаходження похідних найпростіших відомих функцій

Геометричний зміст похідної

Kутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції $f$у точці з абсцисою $x_0$, дорівнює похідній функції$f$ у точці $x_0$, тобто $k\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)$

Фізичний зміст похідної

Kоли $y = s (t)$— закон руху матеріальної точки по координатній прямій, то її миттєва швидкість у момент часу $t_0$дорівнює похідній функції $y = s (t)$ у точці $t_0$, тобто $v\left(t_0\right)=s^{\prime}\left(t_0\right)$ $\rArr$ $a\left(t_0\right)=v^{\prime}\left(t_0\right)$

№7.1

Знайдіть похідну функції:

1. $y=5x-6;$

2. $y=\frac{1-x}{3};$

3. $y=9.$

№7.2

Знайдіть похідну функції:

1. $y=x^4;$

2. $y=x^{20};$

3. $y=x^{-15};$

4. $y=\frac{1}{x^{17}};$

5. $y=x^{-2,8};$

6. $y=x^{\frac15}.$

№7.4

Продиференціюйте функцію:

1. $y=\sqrt[4]{x};$

2. $y=\sqrt[8]{x^7};$

3. $y=\frac{1}{\sqrt{x}};$

4. $y=\frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}.$

№7.6

Обчисліть значення похідної функції $f$ у точці $x_0:$

1. $f\left(x\right)=\sin x,$ $x_{\placeholder{}}=\frac{\pi}{4};$

2. $f\left(x\right)=\cos x,$ $x_0=-\frac{\pi}{6}.$

№7.8

Обчисліть значення похідної функції $f$ у точці $x_0:$

1. $f\left(x\right)=x\sqrt{x},$ $x_{\placeholder{}}=81;$

2. $f\left(x\right)=x^3\sqrt[4]{x},$ $x_0=1;$

3. $f\left(x\right)=\sqrt{x\sqrt{x}},$ $x_{\placeholder{}}=16;$

4. $f\left(x\right)=\frac{x^2}{\sqrt[6]{x}},$ $x_0=64.$

№7.10

Користуючись означенням похідної, знайдіть $f ′(x)$, якщо:

1. $f\left(x\right)=\frac{3}{x};$

2. $f\left(x\right)=4-x^2,$

Домашнє завдання:

Вивчити п.7 (конспект), виконати № 7.3; 7.5; 7.7; 7.9; 7.11.

Конспект