10 клас. Алгебра. Урок 49. Задачі, що приводять до поняття похідної

Задачі, що приводять до поняття похідної

Задача про миттєву швидкість

Нехай матеріальна точка Μ рухається прямолінійно по зако­ну s = f(t)

В момент часу t₀ вона зайняла положення М₀ і пройшла шлях S₀ = f(t₀).

Знайдемо швидкість точ­ки в момент часу t₀.

Припустимо, що за довільно вибраний проміжок часу Δt, по­чинаючи з моменту t₀, точка перемістилася на відстань Δs і за­йняла положення М₁. Тоді

t₁ = t₀ + Δt, s₁ = f(t₁) = s₀ + Δs.

За проміжок часу Δt матеріальна точка проходить шлях

Δx = f(t₁) - f(t₀) = f(t₀ + Δt) - f(t₀).

Середня швидкість v руху на проміжку Μ₀М₁

$v_{сер}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{f\left(t_0+\Delta t\right)-f\left(t_0\right)}{\Delta t}$

Миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, в мо­мент часу t₀ називається границя середньої швидкості при умові, що Δt наближається до нуля.

$v_{мит}=\lim_{\Delta t\rarr0}v_{сер}{}=\lim_{\Delta t\rarr0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rarr0}\frac{f\left(t0+\Delta t\right)-f\left(t_0\right)}{\Delta t}$

Числа Δt, Δs називаються відповідно приростом часу, прирос­том шляху.

Задача про дотичну до графіка функції

Для введення означення дотич­ної до кривої розглянемо функцію у = f(x) і її графік — криву лінію. Нехай точки А і Μ нале­жать графіку функції у = f(x), про­ведемо січну AM.

Зафіксуємо точку А. Нехай точ­ка М, рухаючись по кривій, набли­жається до точки А. При цьому січна AM буде повертатися навко­ло точки А і в граничному поло­женні при наближенні точки М до точки А січна займе поло­ження прямої АТ. Пряму АТ називають дотичною до даної кри­вої в точці А.

Дотичною АТ до графіка функції у = f(x) в точці А називається граничне положення січної AM, коли точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А.

Дотична — це пряма, а положення прямої у= kx + b, яка проходить через точку А(х₀; у₀) визначається кутовим коефіцієнтом прямої k = tg α, де α — кут між прямою і додатнім напрямом осі ОХ.

Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

Нехай в точці А(х₀; у₀) кривої у = f(x) існує дотична, визна­чимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1) Надамо аргументу х₀ приросту Δх, одержимо нове значення аргументу х₀ + Δх.

2) Знайдемо відповідний приріст функції: Δу = f(х₀ + Δх) - f(х₀)

3) Знайдемо відношення $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$

Із трикутника АМК маємо: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tg\angleМАК$

Так як ∠ΜΑΚ = φ — куту нахилу січної AM з додатним напрямом осі ОХ, то $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tg\varphi.$

4) Якщо Δх → 0, то Δу → 0 і точка М буде переміщуватися по кривій, наближаючись до точки А.

При цьому січна AM буде повертатися навколо точки А, а величина кута φ буде змінюватися зі зміною Δх. Граничним положенням січної AM при Δх → 0 буде дотична АТ, яка утворює з додатним напрямом осі ОХ деякий кут, величину якого позна­чимо через α.

Отже, $\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rarr0}\tg\varphi=\tg\varphi=k$ — кутовий коефіцієнт дотичної.

№6.1

Знайдіть приріст функції $f$у точці $x_0$, якщо:

1. $f\left(x\right)=2x-1,$ $x_0=-1,$ $\Delta x=0,2;$

2. $f\left(x\right)=3x^2-2x,$ $x_0=2,$ $\Delta x=0,1;$

3. $f\left(x\right)=\frac{6}{x},$ $x_0=1,2,$ $\Delta x=-0,3.$

№6.3

Для функції $f\left(x\right)=x^2-3x$ виразіть приріст $\Delta f$ функції $f$ у точці $x_0$ через $x_0$ і $x$. Знайдіть якщо:

1. $x_0=3,$ $x=2,5;$

2. $x_0=-2,$ $x=-1.$

№6.5

Для функції $f\left(x\right)=x^2-x$ і точки $x_0$ знайдіть $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ і $\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$

№6.7

Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом $s\left(t\right)=2t^2+3$ (переміщення вимірюється в метрах, час - у секундах). Знайдіть миттєву швидкість матеріальної точки в момент $t_0=2^{\placeholder{}}c$

Домашнє завдання:

Опрацювати п.6, виконати № 6.2; 6.4; 6.6; 6.8.