10 клас. Алгебра. Урок 49. Приріст функції. Задачі, що приводять до поняття похідної

Приріст функції. Задачі, що приводять до поняття похідної

Розглянемо графік функції $y=x^2$

Значення функції в точці $x=2$ дорівнює: $f\left(2\right)=2^2=4$

Збільшимо значення аргументу на $1$, отримаємо: $f\left(2+1\right)=3^2=9$

Отже, якщо значення аргументу $x_0=2$ збільшити на $1$, то значення функції збільшиться на $f\left(2+1\right)-f\left(2\right)$

Приріст величини будемо позначати великою літерою грецького алфавіту $\Delta$ (дельта)

На рисунку:

• Приріст аргументу $\Delta x=1$;

• Приріст фукнції $\Delta f=5.$

Різниця $x-x_0$ називається приростом аргументу у точці $x_0$ і позначається $\Delta x$(«дельта ікс»).

Завдання 1 Знайдіть приріст аргументу $$$ \Delta x $$$, якщо:

1. $x_0=7,$ $x=10$; $\Delta x=x-x_0;$ $\Delta x=10-7=3$

2. $x=5$; $x=1;$ $\Delta x=x-x_0;$ $\Delta x=1-5=-4$

Різниця $f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$ називається приростом функції $y$ у точці $x_0$ і позначається $\Delta f$ («дельта еф»).

Завдання 2.Знайдіть приріст функції $f\left(x\right)$ , у точці $x_0$ для даного приросту аргументу:

$f\left(x\right)=4x-1,$ $x_0=1,$ $\Delta x=2$

$x=x_0+\Delta x;$ $x=1+2=3;$

$f\left(x\right)=f\left(3\right)=4\cdot3-1=11;$

$f\left(x_0\right)=f\left(1\right)=4\cdot1-1=3$

$\Delta f=f\left(x\right)-f\left(x_0\right);$ $\Delta f=11-3=8.$

Задача про миттєву швидкість

Задача. По прямій, на якій задані початок відліку, одиниця виміру (метр) і напрям, рухається деяке тіло (матеріальна точка). Закон руху задане формулою s = s(t), де t - час (у секундах), s(t) - положення тіла на прямій (координата рухомої матеріальної точки) в момент часу t по відношенню до початку відліку (в метрах). Знайти швидкість руху тіла в момент часу t (в м/с).

Припустимо, що в момент часу t тіло перебувало в точці M.

Дамо аргументу t приріст Δt і розглянемо ситуацію в момент часу t + Δt. Координата матеріальної точки стане іншою, тіло в цей момент буде знаходитися в точці P: OP = s (t + Δt).

Отже, за Δt секунд тіло перемістилося з точки M в точку P. Маємо: MP = OP − OM =s (t + Δt)−s(t).

Отриману різницю ми назвали приростом функції: s(t + Δt) − s(t) = Δs.

Тож, MP = Δs(м). Неважко знайти середню швидкість v_ср руху тіла за проміжок часу [t; t + Δt]: $v_{ср}=\frac{\Delta S}{\Delta t}$ (м/с)

А що таке швидкість v(t) в момент часу t (її називають миттєвою швидкістю)?

Можна сказати так: це середня швидкість руху за проміжок часу [t; t + Δt] за умови, що Δt обирається все менше і менше; точніше: за умови, що Δt→0. Це означає, що $v\left(t\right)=\lim_{\Delta t\rarr0}v_{ср}$

Отже, $v=\lim_{\Delta t\rarr0}\frac{\Delta S}{\Delta t}$

Задача про дотичну до графіка функції

Задача. Дано графік функції $y = f(x)$. На ньому обрана точка $M(a; f(a))$, в цій точці до графіка функції проведена дотична (ми припускаємо, що вона існує). Знайти кутовий коефіцієнт дотичної.

Дамо аргументу приріст $Δx$ і розглянемо на графіку точку $P$ з абсцисою$a+Δx$.

Ордината точки $P$ дорівнює $f(a+Δx)$.

Кутовий коефіцієнт січної $MP$, тобто тангенс кута між січною і віссю $x$, обчислюється за формулою $k_{січ}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Якщо ми тепер спрямуємо $Δx$ до нуля, тоді точка P почне наближатися по кривій до точки $M$. Дотичну ми охарактеризували, як граничне положення січної при цьому наближенні.

Отже, можна вважати, що кутовий коефіцієнт дотичної $k_{дот}=\lim_{\Delta x\rarr0}k_{січ}$ буде обчислюватися за формулою $k_{дот}=\lim_{\Delta x\rarr0}k_{січ}$

Використовуючи наведену вище формулу для $k_{січ}$, отримуємо: $k_{дот}=\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

№6.1

Знайдіть приріст функції$f$ у точці $x_0$, якщо:

1. $f\left(x\right)=2x-1,$ $x_0=-1,$ $\Delta x=0,2;$

2. $f\left(x\right)=3x^2-2x,$ $x_0=2,$ $\Delta x=0,1;$

3. $f\left(x\right)=\frac{6}{x},$ $x_0=1,2,$ $\Delta x=-0,3.$

№6.3

Для функції$f(x)=x^2-3x$ виразіть приріст $∆f$ функції $f$ у точці $x_0$ через $x_0$ і $x$. Знайдіть $∆f$, якщо:

1. $x_0=3$, $x = 2,5$;

2. $x_0=–2$, $x = –1$.

№6.5

Для функції $f(x)=x^2-x$ і точки $x_0$ знайдіть $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ i $\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta f}{\Delta x}.$

№6.7

Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом $s(t)=2t^2+3$ (переміщення вимірюється в метрах, час — у секундах). Знайдіть миттєву швидкість матеріальної точки в момент $t_0=2^{\placeholder{}}с.$

Домашнє завдання:

Опрацювати п.6, виконати № 6.2; 6.4; 6.6; 6.8.