10 клас. Алгебра. Урок 48. Неперервність та границя функції

Границя функції в точці

Приклад 1. Розглянемо функцію $y=4-\frac{1}{x}$ на області визначення $D(y):x∈(0;+∞)$

Зі збільшенням аргументу ця функція нескінченно зростає, але ніколи не буде дорівнювати значенню 4.

Отже, коли нескінченно збільшувати, то значення функції все ближче буде наближатись до числа 4. Для запису цього факту будемо використовувати таке позначення:

$\lim_{x\rarr+\infty}\left(4-\frac{1}{x}\right)=4$

Приклад 2.Розглянемо фукнцію $y=x^2$ на області визначення $D(y):x\in[0;+\infty)$

Чим ближче значення аргументу $x$ наближається до числа 2 $\left(x\rarr2\right)$, тим ближче значення функції в цій точці до числа 4 $\left(f\left(x\right)\rarr4\right)$. Отже: $\lim_{x\rightarrow2}x^2=4$

Приклад 3. Розглянемо фукнцію $y=x^2$ на області визначення $D(y):x\in R$

Нехай тепер $x\rightarrow-1$, бачимо, що в такому випадку $f\left(x\right)\rarr1$. Отже: $\lim_{x\rightarrow-1}x^2=1$

• Пригадайте, яка функція називається неперевною?

  Функція неперервна на проміжку, якщо її графік на цьому проміжку – неперервна лінія.

Функція $f(x)$ називається неперервною в точці $x_0$, якщо вона визначена в цій точці і виконується рівність

$\lim_{x\rarr x_0}f(x)=f(x_0)$

Розглянемо деяку функцію $y=f(x)$.

Нехай $y=f(x)$ визначена в околі деякої точки $x_0$ (в самій точці $x_0$ може бути не визначена)

$A=\lim_{x\to x_0}⁡f(x),якщо:$

Кожному числу з як завгодно малого $\varepsilon$-околу точки A, можна знайти відповідну точку з $\delta$-околу точки $x_0$.

У загальному випадку запис $\lim_{x\to x_0}⁡f(x)=A$ означає, що при $x\rarr x_0$ $f\left(x\right)\rarr A,$ тобто – число, до якого прямує значення функції $f\left(x\right)$, коли $x$ прямує до $x_0$.

Властивості границі функції в точці

1. Функція не може мати двох різних границь у точці

2. Якщо $C$ – число, то $\lim_{x\rarr x_0}C=C$

3. Границя суми (різниці, добутку) функцій дорівнює сумі (різниці, добутку) границь цих функцій.

   $\lim_{x\rarr x_0}\left(f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right)=\lim_{x\rarr x_0}f\left(x\right)\pm\lim_{x\rarr x_0}g\left(x\right)$

   $\lim_{x\rarr x_0}\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=\lim_{x\rarr x_0}f\left(x\right)\cdot\lim_{x\rarr x_0}g\left(x\right)$

4. Границя відношення двох функцій дорівнює відношенню їхніх границь, якщо границя дільника не дорівнює нулю.

   $\lim_{x\rarr x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\lim_{x\rarr x_0}f\left(x\right)}{\lim_{x\rarr x_0}g\left(x\right)};$ $\lim_{x\rarr x_0}g\left(x\right)\ne0$

5. $\lim_{x\rarr x_0}kf\left(x\right)=k\lim_{x\rarr x_0}f\left(x\right)$

6. $\lim_{x\rarr x_0}x=x_0$

№1.1

Укажіть (без обґрунтування), яке число є границею послідовності із загальним членом x_n :

1. $x_{n}=3+\frac{1}{n};$

2. $x_{n}=\frac{7}{\sqrt{n+1}};$

3. $x_{n}=\frac{3+\frac{1}{n}}{5-\frac{2}{n}};$

4. $x_{n}=\frac{\sin n}{n^4}.$

№1.3

Обчисліть границю:

1. $\lim_{n\rarr\infty}\frac{2n}{n+1};$

2. $\lim_{n\rarr\infty}\frac{n+5}{n+4};$

3. $\lim_{n\rarr\infty}\frac{1000n}{n^2+1}.$

№1.5

Обчисліть границю:

1. $\lim_{n\rarr\infty}\frac{n^2+3n+15}{2n^2-n+100};$

2. $\lim_{n\rarr\infty}\frac{n-3n^2+44}{n^2+5n-7};$

3. $\lim_{n\rarr\infty}\frac{4n^5+5n^4+3n-2}{9n^5+n^3-1}.$

№1.7

1. $\lim_{n\rarr\infty}\left(\frac{2n+1}{3-2n}\cdot\frac{n+3}{4n+5}\right);$

2. $\lim_{n\rarr\infty}\frac{2n\left(3n-1\right)\left(n+4\right)}{\left(4+5n\right)\left(2n+1\right)\left(n+1\right)};$

3. $\lim_{n\rarr\infty}\frac{\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(2n+3\right)}{\left(4n-1\right)\left(n+3\right)\left(5n-2\right)}.$

Домашнє завдання:

Опрацювати п.1, виконати № 1.4; 1.6; 1.8