10 клас. Алгебра. Урок 45. Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Нерівності виду sin x > a, sin x < a

Нерівність називається тригонометричною, якщо вона містить змінну тільки під знаком тригонометричної функції.

Розв'язати тригонометричну нерівність означає знайти множину значень змінної, при яких нерівність виконується.

Нерівність sinx > a, де 0 < a < 1

1. Побудуємо одиничне коло.

2. Проведено пряму у = а, яка перетне коло в точках М₁ і М₂

   

3. Відмітимо на осі ординат інтервал y > a

4. Виділимо дугу кола, відповідну інтервалу.

5. Записати числові значення граничних точок дуги.

6. Записати загальний розв’язок нерівності.

   

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність $\sin x>\frac12.$

1. Побудуємо одиничне коло.

2. Проведемо пряму $y=\frac12$

3. Виділимо на осі ординат інтервал $y>\frac12$

4. Виділимо дугу кола, що відповідає інтервалу.

5. Відмітимо числові значення граничних точок. $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},$ $\pi-\arcsin\frac12=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

6. Запишемо загальний розв’язок нерівностей (рухаючись від однієї граничної точки до іншої проти часової стрілки) .

$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z,$

Нерівність sinx > a, де -1 < a < 0

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність $\sin x>-\frac12$

Нерівність sinx < a, де 0 < a < 1

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність $\sin x<\frac{\sqrt3}{2}$

Нерівність sinx < a, де -1 < a < 0

Приклад 4. Розв'яжіть нерівність $\sin x<-\frac{\sqrt3}{2}$

Нерівності виду cos x > a, cos x < a

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність $\cos x>\frac12.$

$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність $\cos x<-\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,n\in Z$

№871

Розв'яжіть нерівність:

1. $\sin x<\frac12;$

2. $\sin x\ge-\frac{\sqrt3}{2};$

3. $\cos x>\frac{\sqrt2}{2};$

4. $\cos x\le\frac{\sqrt3}{2}.$

№873

Розв'яжіть нерівність:

1. $\sin2x>\frac{\sqrt3}{2};$

2. $\cos\left(-3x\right)>\frac13.$

№875

Розв'яжіть нерівність:

1. $\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)>-\frac12;$

2. $2\sin\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)\le\sqrt{3;}$

3. $\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\le-\frac{\sqrt2}{2};$

4. $\sin\left(1-2x\right)<-\frac{\sqrt2}{2}.$

Домашнє завдання:

Опрацювати п.37, виконати № 872 (1-4, 9), 874 (1, 4), 876 (2, 3, 5, 6)