10 клас. Алгебра. Урок 36. Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

Формули суми і різниці синусів

$sin⁡(x+y)=sin⁡x cos⁡y+cos⁡x sin⁡y$

$sin⁡(x-y)=sin⁡x cos⁡y-cos⁡x sin⁡y$

$sin⁡(x+y)+sin⁡(x-y)=2 sin⁡x cos⁡y$

Нехай: $x+y=\alpha,$ $x-y=β$, тоді

$sin⁡\alpha+sin⁡\beta=2sin⁡\frac{\alpha+\beta}{2}сos⁡\frac{\alpha-\beta}{2}$

$sin⁡\alpha-sin⁡\beta=2sin⁡\frac{\alpha-\beta}{2}cos⁡\frac{\alpha+\beta}{2}$

Формули суми і різниці косинусів

$cos⁡\alpha+cos⁡\beta=2cos⁡\frac{\alpha+\beta}{2}cos⁡\frac{\alpha-\beta}{2}$

$cos⁡\alpha-cos⁡\beta=-2sin⁡\frac{\alpha+\beta}{2}sin⁡\frac{\alpha-\beta}{2}$

Формули суми і різниці тангенсів

$tg⁡\alpha+tg⁡\beta=\frac{sin⁡(\alpha+\beta)}{cos⁡\alpha cos⁡\beta}$

$tg⁡\alpha-tg⁡\beta=\frac{sin⁡(\alpha-\beta)}{cos⁡\alpha cos⁡\beta}$

№733

Перетворіть у добуток:

1. $\cos50\degree+\cos20\degree;$

2. $\cos2\alpha-\cos4\alpha;$

3. $\sin\beta+\sin4\beta;$

4. $\sin5\degree-\sin3\degree;$

5. $\cos\frac{\pi}{18}+\cos\frac{\pi}{12};$

6. $\sin\left(x+\alpha\right)+\sin\left(x-\alpha\right);$

7. $\cos\left(\alpha-\beta\right)-\cos\left(\alpha+\beta\right);$

8. $\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{3}\right);$

9. $\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right).$

№735

Спростіть вираз:

1. $\frac{\sin8\alpha+\sin2\alpha}{\cos8\alpha+\cos2\alpha};$

2. $\frac{\sin5\alpha-\sin\alpha}{\cos5\alpha-\cos\alpha};$

3. $\frac{\cos74\degree-\cos14\degree}{\sin74\degree+\sin14\degree}.$

№737

Перетворіть у добуток:

1. $\sin20\degree+\cos20\degree;$

2. $\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8};$

3. $\sin\alpha-\cos\alpha;$

4. $\sin\alpha-\cos\left(\alpha-60\degree\right).$

№739

Перетворіть у добуток:

1. $1-2\cos\alpha;$

2. $\sqrt3+2\cos\alpha;$

3. $1-\sqrt2\sin\alpha.$

№741

Доведіть тотожність:

1. $\cos3\alpha-\cos4\alpha-\cos5\alpha+\cos6\alpha=-4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\alpha\cos\frac{9\alpha}{2};$

2. $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+4\alpha\right)+\sin\left(3\pi-8\alpha\right)-\sin\left(4\pi-12\alpha\right)=4\cos2\alpha\cos4\alpha\sin6\alpha;$

3. $\cos^2\alpha-\cos^2\beta=\sin\left(\alpha+\beta\right)\sin\left(\beta-\alpha\right);$

4. $\frac{\sin\alpha+\sin3\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha}{\cos\alpha+\cos3\alpha+\cos5\alpha+\cos7\alpha}=\tg4\alpha;$

5. $\frac{2\left(\sin2\alpha+2\cos^2\alpha-1\right)}{\cos\alpha-\sin\alpha-\cos3\alpha+\sin3\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha};$

6. $\frac{1+\cos\alpha+\cos2\alpha+\cos3\alpha}{\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1}=2\cos\alpha;$

7. $\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)^2+\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)^2=4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2};$

8. $\frac{\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2-1+\sin4\alpha}{\cos2\alpha+\cos4\alpha}=\tg\alpha;$

9. $\left(\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos2\alpha}\right)\cdot\frac{\cos\alpha-\cos7\alpha}{\sin\alpha}=-4\sin3\alpha;$

10. $\frac{\left(\cos\alpha-\cos3\alpha\right)\left(\sin\alpha+\sin3\alpha\right)}{1-\cos4\alpha}=\sin2\alpha;$

11. $\frac{\sin\left(2\alpha+2\pi\right)+2\sin\left(4\alpha-\pi\right)+\sin\left(6\alpha+4\pi\right)}{\cos\left(6\pi-2\alpha\right)+2\cos\left(4\alpha-\pi\right)+\cos\left(6\alpha-4\pi\right)}=\tg4\alpha.$

Домашнє завдання:

Вивчити п.28 (конспект), виконати №734, 736, 738, 740, 742

Конспект