10 клас. Алгебра. Урок 35. Формули подвійного кута. Розв’язування вправ. Самостійна робота.

ПОВТОРЮЄМО

Формули косинуса різниці і суми аргументів:

$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Формули синуса різниці і суми аргументів:

$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

Формули тангенса різниці і суми аргументів:

$\tg\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$

$\tg\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}$

Формули подвійного кута

$sin⁡2\alpha=2sin⁡\alpha cos\alpha$

$cos⁡2\alpha=cos^2⁡\alpha-sin^2⁡\alpha$

$cos⁡2\alpha=1-2sin^2⁡\alpha$

$cos⁡2\alpha=2cos^2⁡\alpha-1$

$tg⁡2\alpha=\frac{2tg⁡\alpha}{1-tg^2⁡\alpha}$

№706

Доведіть тотожність:

1. $2\sin^2\alpha+\cos2\alpha=1;$

2. $\ctg3\alpha\left(1-\cos6\alpha\right)=\sin6\alpha;$

3. $\frac{1-\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}=2;$

4. $\frac{1-\cos4\alpha}{1+\cos4\alpha}=\tg^22\alpha.$

№708

Знайдіть $\tg2\alpha,$ якщо $\sin\alpha=\frac{\sqrt5}{3}$ i $0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$

№710

Спростіть вираз:

1. $\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\cos3\alpha}{\cos\alpha};$

2. $\frac{1}{\ctg\frac{\alpha}{2}-\tg\frac{\alpha}{2}};$

3. $\left(\tg\alpha+\ctg\alpha\right)\sin2\alpha;$

4. $\frac{1}{1-\tg\alpha}-\frac{1}{1+\tg\alpha};$

5. $\frac{4\tg\alpha\left(1-\tg^2\alpha\right)}{\left(1+\tg^2\alpha\right)^2};$

6. $\frac{\tg2\alpha\tg\alpha}{\tg2\alpha-\tg\alpha};$

7. $\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha+\cos^2\alpha}{2\left(1-\cos\alpha\right)};$

8. $2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right).$

№712

Доведіть тотожність:

1. $\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2\alpha\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2\alpha\right)=\sin4\alpha;$

2. $1+2\cos2\alpha+\cos4\alpha=4\cos^2\alpha\cos2\alpha;$

3. $\frac{1-\cos4\alpha}{\cos^{-2}2\alpha-1}+\frac{1+\cos4\alpha}{\sin^{-2}2\alpha-1}=2;$

4. $\frac{1+\sin2\alpha-\cos2\alpha}{1+\sin2\alpha+\cos2\alpha}=\tg\alpha;$

5. $\frac{\sin^22\alpha+4\sin^2\alpha-4}{1-8\sin^2\alpha-\cos4\alpha}=\frac12\ctg^4\alpha;$

6. $\frac{\cos\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{2}+2\alpha\right)}{\left(1+\cos2\alpha\right)\left(1+\cos4\alpha\right)}=\tg\alpha;$

7. $\frac{\sin^2\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}{\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+2\alpha\right)}=-\frac14\sin8\alpha.$

№714

Доведіть, що $\tg15\degree+\ctg15\degree=4.$

Самостійна робота

Варіант 1

Самостійна робота

Варіант 2

Домашнє завдання:

Повторити п.27 (конспект), виконати №707, 709, 711, 713, 715