10 клас. Алгебра. Урок 32. Формули додавання.

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел

Координати векторів $\overrightarrow{OP_{\alpha}(}cos⁡\alpha;sin⁡\alpha)$; $\overrightarrow{OP_{\beta}(}cos⁡\beta;sin⁡\beta)$; $\overrightarrow{OP_{\alpha}}(cos⁡\alpha;sin⁡\alpha)$

$\overrightarrow{OP_{\alpha}}\cdot\overrightarrow{OP_{\beta}}=cos⁡\alpha cos⁡\beta+sin⁡\alpha sin⁡\beta$ i $\overrightarrow{OP_{\alpha}}\cdot\overrightarrow{OP_{\beta}}=|\overrightarrow{OP_{\alpha}⃗}|\cdot|\overrightarrow{OP_{\beta}|}\cdot\cos\angle P_{\alpha}OP_{\beta}$

$∠P_α OP_β=α-β$; $|\overrightarrow{OP_{\alpha}⃗}|=1;$ $|OP_{\beta}|=1$ $\rArr$ $cos⁡(\alpha-\beta)=cos⁡\alpha cos⁡+sin⁡\alpha sin⁡\beta$

Формули косинуса різниці і суми аргументів:

$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Формули синуса різниці і суми аргументів:

$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

Формули тангенса різниці і суми аргументів:

$\tg\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$

$\tg\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}$

№641

Спростіть вираз:

1. $\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right);$

2. $\sin\left(30^{\circ}+\alpha\right)-\cos\left(60^{\circ}+\alpha\right);$

3. $\sqrt2\sin\left(\alpha-45^{\circ}\right)-\sin\alpha+\cos\alpha;$

4. $2\cos\left(60^{\circ}-\alpha\right)-\sqrt3\sin\alpha-\cos\alpha.$

№643

Спростіть вираз:

1. $\sin\alpha\cos4\alpha+\cos\alpha\sin4\alpha;$

2. $\cos17^{\circ}\cos43^{\circ}-\sin17^{\circ}\sin43^{\circ};$

3. $\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8};$

4. $\sin\alpha\sin\left(\alpha+\beta\right)+\cos\alpha\cos\left(\alpha+\beta\right);$

5. $\sin53^{\circ}\cos7^{\circ}-\cos53^{\circ}\sin\left(-7^{\circ}\right);$

6. $\sin\left(\alpha+\beta\right)\cos\left(\alpha-\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\cos\left(\alpha+\beta\right);$

7. $\left(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\right)^2+\left(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\right)^2;$

8. $\frac{\sin20^{\circ}\cos5^{\circ}-\cos20^{\circ}\sin5^{\circ}}{\cos10^{\circ}\cos5^{\circ}-\sin10^{\circ}\sin5^{\circ}};$

9. $\cos\left(\alpha+\beta\right)+2\sin\alpha\sin\beta.$

№645

Відомо, що $\tg\alpha=\frac12,\tg\beta=\frac14.$ Знайдіть значення виразу $\tg\left(\alpha+\beta\right).$

№647

Спростіть вираз:

1. $\frac{\tg13^{\circ}+\tg47^{\circ}}{1-\tg13^{\circ}\tg47^{\circ}};$

2. $\frac{\tg1^{\circ}-\tg46^{\circ}}{1+\tg1^{\circ}\tg46^{\circ}};$

3. $\frac{1-\tg27^{\circ}\tg33^{\circ}}{\tg27^{\circ}+\tg33^{\circ}};$

4. $\frac{\tg\frac{\pi}{9}+\tg\frac{5\pi}{36}}{1-\tg\frac{\pi}{9}\tg\frac{5\pi}{36}}.$

№649

Доведіть тотожність:

1. $\frac{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\sin\alpha\sin\beta};$

2. $\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)}{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)};$

3. $\frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos\left(45^{\placeholder{}}+\alpha\right)}{2\sin\left(45^{}^{\placeholder{}}+\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha};$

4. $\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)\cos\left(\alpha-\beta\right)+\cos\left(\alpha+\beta\right)\sin\left(\alpha-\beta\right)}{\cos\left(\alpha+\beta\right)\cos\left(\alpha-\beta\right)-\sin\left(\alpha+\beta\right)\sin\left(\alpha-\beta\right)}=\tg2\alpha;$

5. $\frac{\sin\left(45^{\circ}+\alpha\right)-\cos\left(45^{\circ}+\alpha\right)}{\sin\left(45^{\circ}+\alpha\right)+\cos\left(45^{\circ}+\alpha\right)}=\tg\alpha;$

6. $\frac{\sin\alpha+2\sin\left(60^0-\alpha\right)}{2\cos\left(30^0-\alpha\right)-\sqrt3\cos\alpha}=\sqrt3\ctg\alpha.$

№651

Дано: $\sin\alpha=\frac{9}{41},90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}.$ Знайдіть $\sin\left(\alpha+45^{\circ}\right)$

Домашнє завдання:

Вивчити п.25 (конспект), виконати №644, 646, 648, 650, 652

Конспект