10 клас. Алгебра. Урок 27. Періодичність тригонометричних функцій. Самостійна робота

Періоди синуса і косинуса

При повороті на кут 75⁰ початковий радіус ОА₀ переходить у радіус ОА₇₅.

• На який кут, відмінний від 75⁰ потрібно повернути радіус ОА₀, щоб отримати цей самий радіус ОА₇₅?

Цей самий радіус ОА₇₅ можна отримати якщо повернути початковий радіус ОА₀ на кут 435⁰, тобто на один повний оберт +75⁰.

Отже, при зміні кута на ціле число обертів (360⁰ або на $2\pi$ радіан) значення тригонометричних функцій синуса і косинуса змінюватися не будуть.

Всі функції, що мають таку властивість, називаються періодичними.

Функцію $f$ називають періодичною, якщо існує таке число $T\neq0,$ що для будь-якого $x$ з області визначення функції $f$ виконуються рівності

$f\left(x-T\right)=f\left(x\right)=f\left(x+T\right)$

Число $T$ називають періодом функції$f$

Кожна періодична функція має безліч періодів.

Наприклад, функції синус і косинус мають періоди: $2\pi,4\pi,6\pi\ldots$

$2\pi$ - найменший період синуса і косинуса.

Періоди тангенса і котангенса

• Чи буде число $2\pi$ періодом тангенса і котангенса?

• Чи буде число найменшим періодом тангенса і котангенса?

Розглянемо радіуси $OA_α$ i $OA_β$, що утворюються внаслідок повороту початкового радіуса на кути $\alpha$ i $\beta.$ Точки $O,A_α$ i $A_β$ лежать на одній прямій, отже прямі $OA_α$ та $OA_β$ перетинають вісь тангенсів в одній точці – точці $P$. Отже, два різні кути мають одне значення. Тому тангенс при зміні кута на ціле число півобертів не буде змінювати свого значення.

Аналогічно можна показати, що котангенс не буде змінювати свого значення при повороті на ціле число півобертів.

$\pi$ – найменший період тангенса і котангенса

№559

Знайдіть значення виразу:

№561

На рисунку зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює T. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-2T; 3T]

№563

Доведіть, що число T є періодом функції f:

1. $f\left(x\right)=\cos\frac{x}{4},$ $T=8\pi;$

2. $f\left(x\right)=\tg3x,$ $T=-\frac{2\pi}{3};$

3. $f\left(x\right)=\ctg\pi x,$ $T=3;$

4. $f\left(x\right)=\sin\left(5x-2\right),$ $T=\frac{4\pi}{5}.$

Самостійна робота з теми «Тригонометричні функції числового аргументу»

Варіант 1

1. Знайдіть радіанну міру кутів: а) 15°; б) 48°. (1 бал)

2. Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює: а) (1 бал)

3. У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р₀(1; 0) на кут: а) 138°; б) -48°; в) г) (2 бали)

4. Знайдіть значення виразу: а)

   б) (2 бали)

5. Який знак має: а) б) (1 бал)

6. Визначте знак виразу: а) б) (1 бал)

7. Порівняйте: а) і б) і (2 бали)

8. Знайдіть значення виразу: а) б) в) (2 бали)

Самостійна робота з теми «Тригонометричні функції числового аргументу»

Варіант 2

1. Знайдіть радіанну міру кутів: а) 24°; б) 75°. (1 бал)

2. Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює: а) (1 бал)

3. У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р₀(1; 0) на кут: а) 285°; б) -140°; в) г) (2 бали)

4. Знайдіть значення виразу: а)

   б) (2 бали)

5. Який знак має: а) б) (1 бал)

6. Визначте знак виразу: а) б) (1 бал)

7. Порівняйте: а) і б) і (2 бали)

8. Знайдіть значення виразу: а) б) в) (2 бали)

Самостійна робота з теми «Тригонометричні функції числового аргументу»

Варіант 3

1. Знайдіть радіанну міру кутів: а) 12°; б) 72°. (1 бал)

2. Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює: а) (1 бал)

3. У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р₀(1; 0) на кут: а) 283°; б) -53°; в) г) (2 бали)

4. Знайдіть значення виразу: а)

   б) (2 бали)

5. Який знак має: а) б) (1 бал)

6. Визначте знак виразу: а) б) (1 бал)

7. Порівняйте: а) і б) і (2 бали)

8. Знайдіть значення виразу: а) б) в) (2 бали)

Самостійна робота з теми «Тригонометричні функції числового аргументу»

Варіант 4

1. Знайдіть радіанну міру кутів: а) 105°; б) 330°. (1 бал)

2. Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює: а) (1 бал)

3. У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р₀(1; 0) на кут: а) 420°; б) -215°; в) г) (2 бали)

4. Знайдіть значення виразу: а)

   б) (2 бали)

5. Який знак має: а) б) (1 бал)

6. Визначте знак виразу: а) б) (1 бал)

7. Порівняйте: а) і б) і (2 бали)

8. Знайдіть значення виразу: а) б) в) (2 бали)

Самостійна робота з теми «Тригонометричні функції числового аргументу»

Варіант 5

1. Знайдіть радіанну міру кутів: а) 10°; б) 54°. (1 бал)

2. Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює: а) (1 бал)

3. У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р₀(1; 0) на кут: а) 126°; б) -110°; в) г) (2 бали)

4. Знайдіть значення виразу: а)

   б) (2 бали)

5. Який знак має: а) б) (1 бал)

6. Визначте знак виразу: а) б) (1 бал)

7. Порівняйте: а) і б) і (2 бали)

8. Знайдіть значення виразу: а) б) в) (2 бали)

Самостійна робота з теми «Тригонометричні функції числового аргументу»

Варіант 6

1. Знайдіть радіанну міру кутів: а) 20°; б) 54°. (1 бал)

2. Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює: а) (1 бал)

3. У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р₀(1; 0) на кут: а) 254°; б) -290°; в) г) (2 бали)

4. Знайдіть значення виразу: а)

   б) (2 бали)

5. Який знак має: а) б) (1 бал)

6. Визначте знак виразу: а) б) (1 бал)

7. Порівняйте: а) і б) і (2 бали)

8. Знайдіть значення виразу: а) б) в) (2 бали)

Домашнє завдання:

Опрацювати п.21, виконати №560, 562, 564

Конспект