10 клас. Алгебра. Урок 25. Тригонометричні функції числового аргументу

Синус і косинус кута повороту

Якщо точка M числового кола відповідає числу t, тоді абсцису точки M називають косинусом числа t та позначають cos t, а ординату точки M називають синусом числа t та позначають sin t.

Отже, якщо M(t)=M(x; y)

тоді x = cost; y = sint

Звідси, −1 ≤ cost ≤ 1; −1 ≤ sint ≤ 1

Тангенс і котангенс кута повороту

Відношення синуса числа t до косинуса того ж числа називають тангенсом числа t і позначають tg t.

Відношення косинуса числа t до синуса того ж числа називають котангенсом числа t і позначають ctg t.

$tgt=\frac{\sin t}{\cos t}$; $c\tg t=\frac{\cos t}{\sin t}$

Властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенса

Властивість 1. Для будь-якого значення t справедливі рівності:

sin(−t) = −sint;

cos(−t) = cost;

tg(−t) = −tgt;

ctg(−t) = −ctgt.

Властивість 2. Для будь-якого значення t справедливі рівності:

sin(t + 2πk) = sint

cos(t + 2πk) = cost

tg(t + πk) = tgt;

ctg(t + πk) = ctgt.

Властивість 3. Для будь-якого значення t справедливі рівності:

sin(t + π) = −sint;

cos(t + π) = −cost;

tg(t + π) = tgt;

ctg(t + π) = ctgt.

Геометрична ілюстрація для тангенса і котангенса

Проведемо спочатку в координатній площині до числового кола дотичну в точці A.

З подібності трикутників OMK і OPA, отримаємо рівність:

$\frac{MK}{OK}=\frac{PA}{OA};\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{PA}{1}$

Тобто PA = tg t.

Числову пряму $l$називають лінією тангенсів.

Числову пряму $m$називають лінією котангенсів.

№512

Обчисліть значення виразу:

1. $2\cos0^{o}+3\sin90^{o};$

2. $4\tg180^{o}-2\ctg45^{o};$

3. $\sin45^{o}+\cos45^{o};$

4. $\sin^260^{o}+\cos^230^{o};$

5. $\sin45^{o}\cos60^{o}\ctg30^{o};$

6. $\sin0+\tg\pi-\sin\frac{3\pi}{2};$

7. $5\cos\pi+4\cos\frac{3\pi}{2}+2\cos2\pi;$

8. $6\sin\frac{\pi}{6}-2\cos\frac{\pi}{3}+\tg\frac{\pi}{4}-7\ctg\frac{\pi}{4};$

9. $2\sin^2\frac{\pi}{4}+\cos^2\frac{\pi}{6};$

10. $\sin\frac{\pi}{3}\tg^2\frac{\pi}{6}\ctg\frac{\pi}{6}.$

№514

Відомо, що $\alpha=\frac{\pi}{6}$. Знайдіть і порівняйте значення виразів:

1. $\sin2\alpha$ і $2\sin\alpha;$

2. $\cos3\alpha$ і $3\cos\alpha.$

№516

Чи можлива рівність:

1. $\cos\alpha=\frac47;$

2. $\sin\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{4};$

3. $\sin\alpha=-\sqrt[3]{1,2};$

4. $\cos\alpha=\frac{\pi}{3};$

5. $\cos\alpha=\frac{\pi}{4};$

6. $\sin\alpha=\frac98;$

7. $\tg\alpha=-4;$

8. $\ctg\alpha=\sqrt{26}?$

№518

Укажіть найбільше і найменше значення виразу:

1. $3\sin\alpha;$

2. $4+\cos\alpha;$

3. $2-\sin\alpha;$

4. $6-2\cos\alpha;$

5. $\sin^2\alpha;$

6. $2\cos^2\alpha-3.$

№522

Знайдіть значення виразу:

1. $\frac{\sin2\alpha+\cos2\alpha}{\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{12}\right)+3\tg\alpha},$ якщо $\alpha=\frac{\pi}{4};$

2. $\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\sin\left(\alpha-\beta\right)+\cos\left(\alpha+\beta\right)},$ якщо $\alpha=\frac{\pi}{3},\beta=\frac{\pi}{6}.$

№527

При яких значеннях $a$ можлива рівність:

1. $\cos x=a+3;$

2. $\sin x=a^2+1;$

3. $\cos x=a^2-3;$

4. $\sin x=a^2-a-1;$

5. $\cos x=a^2-5a+5;$

6. $\tg x=\frac{a+2}{a-2}?$

Домашнє завдання:

Вивчити п.19 (конспект), виконати №513, 515, 519, 523, 528.

Конспект