Уявіть дві посудини: високий стакан (циліндр) і ріжок морозива (конус). Вони однакові за висотою та шириною основи, але якщо порівняти, скільки рідини чи піску можна помістити в кожну, виявляється, що стакан вміщує втричі більше, ніж ріжок. Але чому так? Давайте разом розберемося у цій цікавій геометричній загадці!
Конус проти циліндра: як вони пов’язані?
Циліндр — це об'ємна фігура з двома однаковими круглими основами та рівними боками. Він наче “заповнений повністю” зверху донизу. Конус же має лише одну круглу основу, а його боки сходяться в одну точку — вершину. Через це конус виглядає, ніби він звужується догори.
Відмінність у формі й пояснює, чому об’єм конуса менший. Але щоб це зрозуміти краще, уявімо собі простий експеримент.
Простий експеримент: налий воду
Уявіть, що у вас є конус і циліндр однакових розмірів (радіуса основи та висоти). Ви заповнили конус водою і вирішили перелити її в циліндр. Що ви побачите?
Після першого переливання конус заповнить тільки третину циліндра.
Після другого разу — уже дві третини.
І лише після третього разу циліндр буде повністю заповнений.
Це означає, що об'єм конуса становить лише одну третину від об'єму циліндра з тими самими параметрами. А тепер погляньмо на це математично.
Формули об’ємів: математика пояснює
Легко помітити, що об’єм циліндра у три рази більше, ніж об'єм конуса.
Зверніть увагу на множник у формулі для об’єму конуса. Саме через нього об’єм конуса втричі менший за об’єм циліндра.
Ще більше про тіла обертання ви можете знайти у відео: https://youtu.be/gLAYtx0wS_g
Візуальне пояснення
Щоб зрозуміти це краще, уявімо циліндр як набір тонких круглих “млинців”, складених один на одному. Кожен млинець має однакову площу. Конус же — це ніби той самий циліндр, але його млинці стають дедалі меншими, звужуючись до вершини. Тому він містить значно менше “mатеріалу”.
Якщо “розрізати” конус на шари, ви побачите, що більша частина його об'єму зосереджена ближче до основи, а верхня частина майже порожня. Це і є причина, чому конус займає лише третину об’єму відповідного циліндра.
Практичне значення
Різниця у формі та об’ємі між конусом і циліндром має багато практичних застосувань у реальному житті:
Упаковка: Наприклад, стаканчики для морозива (конус) вміщують менше продукту, що дозволяє зекономити матеріали для упаковки. Та більше заробити грошей. Те саме з коктейлями.
Будівництво: Конусоподібні куполи чи башти легші за масою, ніж циліндричні конструкції, і забезпечують природний стік дощової води.
Дизайн і транспорт: У літакобудуванні конусоподібні носи літаків і ракет зменшують опір повітря.
Завдяки співвідношенню конуса і циліндру ми можемо оптимізувати дизайн, заощаджувати матеріали і зручно використовувати ці геометричні форми в різних галузях. А також збільшувати прибутки.
Тож наступного разу, коли триматимете в руках ріжок морозива, пам’ятайте: його форма не лише естетична, а й математично обґрунтована!
