Добрий день!
Сьогодні на уроці ми будемо говорити про ймовірність. Ймовірність відноситься до понять, якими ми часто користуємось в повсякденному житті, зовсім не задумуючись про це. Наприклад, навіть наша мова носить стихійно-ймовірнісний підхід до оточуючої нас дійсності:
Ми підемо завтра у кіно?
Ймовірно… (або малоймовірно)
Ти чув, що двієчник склав іспит з математики на 12 балів?
Неймовірно!!!
Вже в цих коротких репліках «ймовірно, малоймовірно, неймовірно» є спроба оцінити можливість появи тієї чи іншої події. Суспільство все глибше починає вивчати себе и прагне зробити прогнози саме про себе і про явища природи, які потребують уявлень про ймовірність. Навіть прогнози погоди повідомляють про те, що завтра ймовірність опадів збільшиться, залишаючи багатьох в повній розгубленості: брати парасольку чи ні?
Ідея виражати числами степінь можливості появи тих чи інших подій виникла після того, як люди спостерігали багато прикладів, в яких проявлялась цікава здатність явищ повторюватися доволі часто.
Задачі, які ми сьогодні будемо розв’язувати, допоможуть вам творити, думати незвичайно, оригінально, бачити те, повз чого ви часто проходили не помічаючи, долати труднощі. І, нарешті, ми в черговий раз переконаємося, що наш світ сповнений математикою і продовжимо дослідження на предмет виявлення теорії ймовірності навколо нас.
Отже, запишіть у зошитах:
28 березня
Класна робота
Випадкова подія. Відносна частота події
Наш сьогоднішній урок пройде у формі Усного журналу, зі сторінок якого ви дізнаєтесь багато нового і цікавого, а також покажете, чому ви навчились.
Перша сторінка нашого усного журналу – «Історія теорії ймовірності»
Початок теорії ймовірностей як науки приписують середині XVII століття. З історичних романів пам’ятаємо: це час королів і мушкетерів, прекрасних дам і шляхетних кавалерів. Як це не парадоксально, з ім’ям одного з них, причому реальної історичної особистості, пов'язаний початок теорії ймовірності.
Засновником теорії ймовірності вважають великого вченого, математика, фізика і філософа Блеза Паскаля (1623-1662). Але вважається, що вперше він зайнявся теорією ймовірностей під впливом питань, що поставив перед ним один з придворних французького двору шевальє де Мере (1607-1648). Неперевершений кавалер, розумний і освічений чоловік, де Мере захоплювався філософією, мистецтвом і був азартним гравцем! Але гра, виявляється теж була для нього приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонував Паскалю два відомих питання, перше з яких він намагався розв’язати сам. Питання були такі:
Скільки разів слід кидати два гральних кубика, щоб випадків випадання одразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидань?
Як справедливо розділити поставлені на кін двома гравцями гроші, якщо вони з деяких причин закінчили гру передчасно?
Ці питання обговорювались у листах двох великих вчених Блеза Паскаля і П’єра Ферма і стали приводом для початкового введення такого важливого поняття, як математичне сподівання, і спроб формулювання основних теорем додавання і добутку ймовірностей.
Пропоную вашій увазі другу сторінку журналу «Поняття події. Види подій»
Як ви вже зрозуміли, теорія ймовірності вивчає випадкові події. Так що ж таке подія з точки зору математики.
В теорії ймовірностей під подією розуміють те, відносно чого після деякого моменту часу можна сказати одне і тільки одне з двох:
Так, вона відбулася
Ні, вона не відбулася
Тобто подія – це результат випробування.
Наприклад, візьмемо коробку і в неї помістимо кульки різних кольорів.
Витягнути з коробки одну кулю. Діставання кулі з коробки є випробування. Поява кулі певного кольору – подія.
З нашого досліду робимо висновок, що ми не можемо з точністю визначити кулю якого кольору ми витягнемо з коробки, не знаючи кількість шарів різного кольору.
В житті ми постійно зіштовхуємося з тим, що деяка подія може відбутися, а може і не відбутися. Таку подію в теорії ймовірності називають випадковою.
Наприклад: В коробці є 5 білих і 5 чорних кульок. Не зазираючи в коробку, навмання дістаємо з неї одну кульку. Яка з подій може відбутися:
А: «взяли білу кульку»
В: «взяли жовту кульку»
С: «взяли чорну кульку»
D: «взяли кульку»
Події А та С є випадковими подіями, оскільки взята кулька може бути як білою так і чорною.
З коробки можна взяти тільки те, що в ній є, тому вийняти з коробки жовту кульку неможливо, отже подія В «взяли жовту кульку» за даних умов неможлива (подія, яка не відбудеться за жодних умов).
Оскільки в коробці є лише кульки, то будь-який предмет, вийнятий з коробки, є кулькою. Отже за даних умов подія D «взяли кульку» відбудеться обов’язково. Кажуть, що ця подія є достовірною або вірогідною (події, які обов’язково відбудуться за певних умов)
Оскільки білих і чорних кульок в коробці порівну, то випадкові події А і С є рівноймовірними (події, коли в їх появі немає переваг).
Відповідно, не рівноймовірні події ті, у яких в настанні однієї з подій є якась перевага.
Далі ми будемо працювали лише з рівноймовірними подіями.
Існують ще два види подій: сумісні і несумісні.
Якщо підкинути одночасно монету і гральний кубик, то випадіння герба на монеті і 4 очок на кубику не заважають один одному – вони сумісні (події, які можуть відбуватися одночасно).
Відповідно несумісні події – події, які не можуть відбуватися одночасно. Наприклад, якщо підкидати монету – поява герба, виключає появу решки і навпаки.
Класичне означення ймовірності має обмежену область застосувань, оскільки далеко не завжди у реальних ситуаціях можна виділити скінченну кількість рівноможливих наслідків.
Переходимо до третьої сторінки Усного журналу «Експериментальної»
Давайте проведемо експеримент. Візьміть будь ласка монету. Ваше завдання підкинути монету 10 разів. За результатами спроб заповнимо таблицю ( в опорних конспектах)
Кількість спроб n* = 10 | Всього |
Герб m*= | |
Решка | |
P* = |
Порахуйте, будь-ласка P*.
Висновок: При більшій кількості підкидань приблизно для половини випадків випадає «герб». При малому числі дослідів частота появи «герба» носить випадковий характер, однак при достатньо великій їх кількості вона стабілізується, наближаючись до ймовірності події.
Цю величину P* називають відносною частотою випадкової події (відношення кількості дослідів, у яких відбулася деяка подія, до загальної кількості дослідів, проведених у тих самих умовах)
P* = 
На користь висновку, який ми зробили, говорять результати дослідів з підкиданням монети, проведених багатьма дослідниками:
Дослідник | Кількість підкидань монети | Кількість випадань герба (подія А) | Відносна частота події А |
Ж.Бюффон | 4040 | 2048 | 0,5069 |
Де Морган | 4092 | 2048 | 0,5005 |
К.Пірсон | 12000 | 6019 | 0,5016 |
В.Феллер | 10000 | 4979 | 0,4979 |
К.Пірсон | 24000 | 12012 | 0,5005 |
В.Романовський | 80640 | 40151 | 0,4979 |
Як бачимо, відносна частота прямує до ймовірності події із збільшенням числа дослідів. Тобто висновки теорії ймовірності правомірні лише для подій, які мають масовий характер.
Наступна четверта сторінка нашого Усного журналу «Самостійно-дослідна».
Ваше завдання дослідити види подій, а результати занести до таблиці.
Події | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X |
Достовірні | ||||||||||||||||||||||||
Неможливі | ||||||||||||||||||||||||
Випадкові |
А: вночі світить сонце
В: 1 січня – святковий день
С: опівночі випаде сніг, а через 24 години буде світити сонце
D: футбольний матч «Шахтер» - «Динамо» закінчиться внічию
Е: при киданні монети випав «герб»
F: при киданні грального кубика випало 7 очок
G: при киданні грального кубика випала кількість очок, менша 7
H: при телефонному дзвінку абонент виявився зайнятим
I: при киданні грального кубика випало 2 очка
J: навчальний рік коли-небудь закінчиться
K: бутерброд впаде маслом вниз
L: ви виграєте, беручи участь в безпрограшній лотереї
M: черепаха навчиться говорити
N: ви виграєте, беручи участь в лотереї
O: 30 лютого буде дощ
P: завтра на Україні сонце зійде на заході
Q: влітку у школярів будуть канікули
R: при киданні грального кубика випала парна кількість очок
S: паралельні прямі не перетинаються
T: 1 липня в Херсоні будо сонячно
U: в цьому році вас виберуть президентом України
V: після четверга буде п’ятниця
W: день народження мого друга – число, менше за 32
X: Сонце обертається навколо Землі
Ми продовжуємо наш усний журнал.
Чи можна передбачити настання певної події? Якою саме вона буде? Відповіді на ці питання ми шукатимемо далі.
Прочитайте будь-ласка казку.
Жив-був цар Косар. І була у того царя красуня дочка – царівна Зіронька. Якось раз звіздар передбачив царю, що втратить він царство своє, якщо віддасть дочку заміж. Прийшов час Зіронці заміж іти. Ось вже і перші три наречених біля воріт стоять. А найкращий з усіх – царевич Переяслав. Призначив цар женихам випробування – жереб тягти. І ось зібрався народ на березі річки.
- Два камені я поклав у золоту посудину, - сказав цар Косар. – Один камінь білий, інший камінь червоний. Хто витягне білий, той отримає царівну в дружини і півцарства на додачу, а хто витягне червоний – не зносити того голови.
Не злякалися женихи, але не знали вони, що цар два червоних каменя в посудину поклав. У перший день перший наречений витягнув червоний камінь – і йому відрубали голову. На другий день з другим нареченим сталося те ж саме. Настала черга третього нареченого. Але полюбила Зіронька Переяслава і потайки розповіла йому про злий царський намір. Що з робити Переяславу? Відмовитися – значить, честь погубити і царівну втратити, чи не відмовитися – з життям треба прощатися.
Але хоробрий царевич знайшов вихід…
Проблемне запитання: Чи здогадалися ви, який вихід знайшов хоробрий царевич?
Переходимо до п’ятої сторінки нашого журналу «Ймовірність в формулах і задачах»
Ймовірністю події А при проведенні деякого випробування називають відношення числа результатів, які сприяють події А, до загальної кількості всіх (рівноймовірних між собою) результатів цього випробування.
Запишемо формулу
n – число всіх можливих результатів даного випробування
m – кількість сприятливих результатів події А.
Задача 1. Василь, Петро, Микола і Олексій кинули жереб – кому починати гру. Знайдіть ймовірність того, що гру буде починати Петро.
Розв’язання:
Випадковий експеримент – кидання жеребу.
Елементарна подія – учасник, який виграв жереб.
Число елементарних подій n = 4.
Подія А = {жереб виграв Петро}, m = 1.
Відповідь: 0,25.
Властивості ймовірності:
Задача 2. В змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Фінляндії, 7 спортсменів з Данії, 9 спортсменів зі Швеції і 5 – з Норвегії. Порядок, в якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім – зі Швеції.
Розв’язання: Всього спортсменів: n = 4 + 7 + 9 + 5 = 25, n = 25
А = {останній зі Швеції} m = 9
Відповідь: 0,36.
Задача ЗНО
Задача 3: У коробці лежать різнокольорові кульки, з яких 40 – червоні, 20 – коричневі, а всі, що залишились – жовті. З’ясуйте, скільки жовтих кульок лежить у коробці, якщо ймовірність вибору випадковим чином жовтої кульки дорівнює 
.
А | Б | В | Г | Д |
20 | 30 | 60 | 120 | 180 |
Розв’язання:
Нехай жовтих кульок – х штук, m = x
Тоді в коробці лежить 40 + 20 + х = 60 + х штук кульок
n = 60 + x.
З умови відомо, що
Складемо рівняння:
4x = 3(60 + x); 4x = 180 + 3x; x = 180
Тобто жовтих кульок – 180 штук.
Відповідь: Д
Переходимо до шостої сторінки Усного журналу «Самостійної»
Із п’яти чисел 2, 3, 5, 10, 15 навмання вибирають одне число. Яка ймовірність того, що вибране число виявиться парним? (
)У коробці лежать білі і чорні кулі. Скільки білих куль у коробці, якщо ймовірність вийняти з неї навмання білу кулю дорівнює
, а чорних куль у коробці 24? (
, звідси білих куль було 40)Виконайте самостійно:
Задача. У класі навчається 28 учнів. Ймовірність того, що навмання вказаний учень виявиться дівчинкою, дорівнює 2/3 . Скільки у класі дівчат і скільки хлопців?