Розвиток логічного мислення учнів за допомогою системи розвиваючих завдань

Зміст

Вступ

1. Теоретичні аспекти проблеми розвитку логічного мислення школярів на уроках математики

1.1 Проблема розвитку мислення в процесі навчання

1.2 Шляхи і засоби розвитку логічного мислення

Розділ 2. Розвиток логічного мислення учнів за допомогою системи розвиваючих завдань

Висновки

Список використаних джерел

Вивчення математики в школі направлене на досягнення, в першу чергу, цілей інтелектуального розвитку учнів, формування якостей мислення, характерних для математичної діяльності і необхідних людині для життя в сучасному суспільстві, для загальної соціальної орієнтації і рішення практичних проблем.

Серед загальних видів пізнавальної діяльності головне місце займають логічні прийоми мислення. З погляду діяльнісного підходу до навчання, слід озброюватись системою загальних і специфічних прийомів діяльності - як розумовою, так і практичною. Очевидно, що логічні розуміння є найважливішим компонентом розумової діяльності, оскільки однією з істотних характеристик мислення є те, що це логічно організований пошуковий процес, зосереджений на вирішуваній проблемі.

Не можна не погодитися з думкою відомого американського математика і методиста Д. Пойа, що, якщо викладач математики «заповнить відведений йому навчальний час натаскуванню учнів в шаблонних вправах, він уб'є їх інтерес, загальмує їх розумовий розвиток і упустить свої можливості». Розвиток учнів багато в чому залежить від тієї діяльності, яку вони виконують в процесі навчання, - репродуктивною або продуктивною (творчою) .

. Творча діяльність учня, направлена на творче розуміння засвоюваного матеріалу і породження нових способів дії, її розвиток залежать від наявності трьох складових мислення: 1) високий рівень сформованості елементарних розумових операцій; 2) високий рівень активності мислення, що виявляється у висуненні безлічі гіпотез, варіантів рішень, нестандартних ідей; 3) високий рівень організованості і цілеспрямованості мислення, що виявляється у виділенні істотного в явищах, усвідомленні власних способів мислення.

Сформованість названих якостей мислення дозволить подолати труднощі в оволодінні навчальним матеріалом і приведе до розвитку творчої особи учня. Це пояснюється тим, що учень, отримуючи теоретично обгрунтовані способи дій, знання, може самостійно виробляти подібні способи в незнайомих ситуаціях або нові способи при рішенні поставлених проблем.

Таким чином, завдання вчителя зводиться до формування вказаних компонентів мислення. При цьому інструментом для розвитку мислення є цікаві завдання (завдання на «міркування», логічні завдання, головоломки, нестандартні завдання). Їх можна успішно використовувати на уроках як додатковий, допоміжний шлях для тренінгу мислення і формування елементів творчої діяльності.

1.1 Проблема розвитку мислення в процесі навчання

Проблема розвитку мислення в різні часи розглядалася різними психологами. Сучасна психологічна наука розуміє мислення як вищий пізнавальний процес. Воно є формою творчого віддзеркалення людиною дійсності, що породжує такий результат, якого в самій дійсності або у суб'єкта на даний момент часу не існує. Мислення людини також можна розуміти як творче перетворення наявних в пам'яті уявлень і образів

Мислення - це особливого роду розумова і практична діяльність, що припускає систему включених в неї дій і операцій пізнавального характеру.

Розумова деятельность людей здійснюється за допомогою розумових операцій: порівняння, аналізу, синтезу, абстракції, узагальнення і конкретизації.

У навчальній роботі школярів узагальнення зазвичай виявляється у висновках, визначеннях, правилах. Школярам іноді важко провести узагальнення, оскільки далеко не завжди їм вдається самостійно виділити не просто загальні, але і істотні загальні ознаки. Деякі психологи (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов) розрізняють два види узагальнення: формально-емпіричне і змістовне (теоретичне). Формально-емпіричне узагальнення здійснюється шляхом порівняння ряду об'єктів і виявлення зовні однакових і загальних ознак. Теоретичне узагальнення засноване на глибокому аналізі об'єктів і виявленні прихованих загальних і істотних ознак, відносин і залежностей.

Конкретизація - це уявний перехід від загального до одиничного, яке відповідає цьому загальному. У навчальній діяльності конкретизувати - означає привести приклад, ілюстрацію, конкретний факт, підтверджуючий загальне теоретичне положення, правило, закон. У навчальному процесі конкретизація має велике значення: вона пов'язує наші теоретичні знання з життям, з практикою і допомагає правильно зрозуміти дійсність. Відсутність конкретизації приводить до формалізму знань, які залишаються голими і даремними абстракціями, відірваними від життя .

Мислення школяра, найяскравіше виявляється при розв’язуванні завдань.

Будь-яка розумова діяльність починається з питання, яке ставить перед собою чоловік, не маючи готової відповіді на нього. Іноді це питання ставлять інші люди (наприклад, вчитель), але завжди акт мислення починається з формулювання питання, на яке треба відповісти, завдання, яке необхідно вирішити, з усвідомлення чогось невідомого, що треба зрозуміти, з'ясувати.

1.2 Шляхи і засоби розвитку логічного мислення

Розвиток мислення при вивченні математики полягає у формуванні в учнів характерних для цього предмету прийомів розумової діяльності. При цьому важливо, щоб в структуру розумової діяльності школярів крім алгоритмічних умінь і навиків, фіксованих в стандартних правилах, формулах і способах дій, увійшли евристичні прийоми, які необхідні для вирішення творчих завдань, застосування знань в нових ситуаціях, докази висловлюваних тверджень.

Процес навчання припускає цілеспрямоване управління розумовою діяльністю учнів, що приводить до просування учнів в їх розумовому розвитку. Щоб розвинути мислення учнів, потрібно показати їм як функціонує мислення на практиці. Розвиток відбувається в діяльності, тому необхідно створювати учням умови відповідної діяльності, потрібно демонструвати складну картину пошуку рішення, всю складність цієї роботи. В цьому випадку учні стають активними учасниками процесу пошуку рішення, починають розуміти джерела виникнення рішення. Як результат - ними легше освоюються причини помилок, утруднень, оцінюється знайдений спосіб рішення і хід логічних думок, а без цього знання не можуть перейти в переконання.

Системний розвиток логічного мислення повинен бути невідривний від уроку, кожен учень повинен брати участь в процесі рішення не тільки стандартних завдань, але і завдань розвиваючого характеру (активно або пасивно).

У системі завдань шкільного курсу математики, безумовно, необхідні завдання, направлені на відпрацювання того або іншого математичного навику, завдання ілюстративного характеру, тренувальні вправи, що виконуються за зразком. Але не менш необхідні завдання, направлені на виховання в учнів стійкого інтересу до вивчення математики, творчого відношення до навчальної діяльності математичного характеру. Необхідні спеціальні вправи для навчання школярів способам самостійної діяльності, загальним прийомам рішення завдань, для оволодіння ними методами наукового пізнання реальної дійсності і прийомам продуктивної розумової діяльності, якими користуються учені-математики, вирішуючи ту або іншу задачу. Здійснюючи цілеспрямоване навчання школярів рішенню завдань, за допомогою спеціальних підібраних вправ, можна учити їх спостерігати, користуватися аналогією, індукцією, порівняннями, і робити відповідні висновки.

Необхідно на уроках систематично використовувати завдання, сприяючи цілеспрямованому розвитку творчого мислення учнів, їх математичному розвитку, формуванню у них пізнавального інтересу і самостійності. Такі завдання вимагають від школярів спостережливості, творчості і оригінальності. Ефективний розвиток математичних здібностей в учнів неможливий без використання в навчальному процесі завдань на кмітливість, завдань-жартів, математичних ребусів, софізмів.

Як засоби розвитку логічного мислення можуть виступати цікаві завдання (завдання «на міркування», головоломки, нестандартні завдання, логічні завдання).

Розділ 2. Розвиток логічного мислення учнів за допомогою системи розвиваючих завдань

Математика має великі можливості для виховання звичок до чіткого мислення і лаконічної, логічно-досконалої мови. Навчання повинно приносити радість кожному учневі, цього слід добитись, при цьому виникає корисний і для учня і для учителя інтелектуальний контакт, який дає можливість позбавитись від примусового процесу передачі знань: коли учень опирається, а вчитель намагається примусити його отримати чергову порцію нових знань.

Своє завдання вбачаю у вихованні в учнів уміння знаходити раціональний спосіб виконання будь-якої роботи. Досягаю цього лише завдяки систематичній і цілеспрямованій роботі, пропогуючи і стимулюючи творчу ініціативу учня у знаходженні раціональних способів обчислення, виконанні тотожних перетворень, розв’язуванні задач.

З метою підвищення пізнавальної активності учнів намагаюсь забезпечити поступове збільшення труднощів. І таким чином досягаю того, що робота, проведена на кожному етапі навчання, є максимально загальнозрозумілою. В зв’язку з цим великого значення надаю підбору системи вправ.

Підготовчі вправи розміщуються так, щоб попередня допомогла розв’язати наступну, або розв’язок кожної вправи полегшував певний етап розв’язання основної проблеми.

Наведу кілька прикладів системи підготовчих вправ.

На початку уроку алгебри у 8-му класі з теми: «Квадратний тричлен і його корені» під час усного рахунку пропоную наступну вправу:

Під квадратним тричленом ах²+вх+с в стовпчик виписую десять різних квадратних тричленів:

5х²-2х+3 3х²+5х-1 -х² -5х+14

х² +2х-4 9х²-30х+35 35х²+2х-1

-2х²-4х+8 2х²-х-5 х²+5х-24

6х²+7х-5

Завдання:

1. Знайти а,в,с – для деяких з них;

2. Обчислити в².

3. Обчислити 4ас.

Такі вправи доступні для всіх учнів, навіть у найслабших з’являється надія на те, що і вони можуть на уроці давати правильні відповіді.

При використанні формули різниці квадратів учням важливо виділити вирази, різницею квадратів яких є даний двочлен. Тому на декількох попередніх уроках пропоную усну вправу: подати одночлен у вигляді квадрата деякого виразу 25а²; в⁴; х¹⁰; 0,16т⁶.

В своїй роботі широко використовую метод деформованих вправ.

Наприклад, на уроках алгебри учням доводиться розв’язувати багато прикладів вигляду (2х-3у) (2х+3у) із поступовим ускладненням многочленів. Характер розумової діяльності буде змінюватись, якщо запропонувати таку деформовану вправу

( - 3у) ( + 3у) = 4х²- )

Коли виконуються деформовані вправи, спрацьовує механізм зворотного зв’язку, що приводить до міцних свідомих знань.

При вивчені теми «Формули скороченого множення» використовую наступну систему деформованих вправ.

1. Формула (а – в) (а + в) = а² – в².

(а – 5) (а + 5) = а²  25 ( – х³) ( + х³) = у¹⁰ – х^

(3+в) (3- в) =– в² (0,5а³ +0,2в⁴) (0,5а³ - 0,2в⁴)=0,25-0,04

(3а – 5) (3а + 5) = а² – 25 (а⁵ – в⁵) (+ в⁵) = а¹⁰ – 

( – 8у) (8у -5х) = 64у² – 25х² (2 – 5) (х +5) = 4х² –у².

2. Формула а² – в² = (а – в) (а + в)

36у² = (в – у) ( + 4)

0,09а² –121 в² = (0,3а +) ( - 11в)

а² в² - = ( + ) ( - -)

а^ - в^ = (а³ + в⁴) (а³ – в⁴)

4а² – в² = (2 –5) (а +5)

3. Формула

(а + в)² = а² +2ав + в²

(а - в)² = а² - 2ав + в²

(х - )² = х² -8х + 16

(7а² - )² =  -  + 81в ⁴

( +)² = 25х¹⁰ + + 121х ²у⁴

(3в³ + )² =  +18ав⁴ + 

4. Формула а² +2ав + в² = (а + в)²;

а² -2ав + в² = (а - в)².

Запишіть знак  одночленом таким чином, щоб здобути тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена.

 +4ав + в²  -24 а⁵ в +36 в²

25х² - 10х +  а⁴ -0,6 а⁵ + 

49х² -  +4у²  -2ху + у²

З метою актуалізації розумової діяльності учнів використовую проблемний підхід у навчанні. Проблема може бути висунута як учителем так і учнями.

В більшості випадків створення проблемної ситуації є перехідним моментом від актуалізації знань до вивчення нового матеріалу.

Наприклад:

Математика, 6 клас «Скорочення звичайних дробів»

Завдання для учнів:

Накресліть промінь. За одиничний відрізок візьміть 10 кліток. Зобразіть дріб (учні докладно пояснюють як це зробити)

- Чи завжди можна дріб показати точкою на промені?

- Покажіть дріб .

Спочатку учні пропонують поступити аналогічно першому випадку. Інші заперечують: занадто важко розділити одиничний відрізок на 200 рівних частин. З’являється пропозиція використати основну властивість дробу і спочатку спростити дріб.

Далі вчитель дає означення скорочення дробів.

Алгебра, 11 клас «Показникові рівняння».

Після того, як учні навчились розв’язувати показникові рівняння методом зведення лівої і правої частини до степенів з однаковою основою, пропоную рівняння:

3^х = 7.

Окремі учні роблять висновок, що рівняння коренів не має. Інші доводять (графічним способом) що корінь є. Виникає проблема як записати розв’язок такого рівняння.

Геометрія ,7 клас.

Необхідно розв’язати задачу. «Довести, що бісектриси двох суміжних кутів взаємно перпендикулярні».

Пропоную учням побудувати суміжні кути, за допомогою траспортира побудувати їх бісектриси.

Виміряти кути між бісектрисами. Учні висовують гіпотезу «Кут, утворений бісектрисами двох суміжних кутів, прямий.» Далі доводимо цю гіпотезу.

Геометрія, 8 клас.

«Теорема синусів».

Учні пригадують означення:

B

C b A

Актуалізація ситуації пошуку забезпечує вивчення математики на основі отримання нової інформації. Учням пропонуються задачі напіввизначеного змісту, що потребують творчої переробки. У процесі «проживання» цієї ситуації учні отримують задоволення від своєї діяльності, тому що відбувається порушення її звичних норм. Оптимальною формою організації розв’язування задач у цій ситуації є діалогічна співпраця учнів (робота в парах змінного складу).

Для актуалізації ситуації перетворення служать задачі оптимальної невизначенності змісту. Робота з розв’язування запропонованих учителем задач здійснюється в процесі довільного спілкування , обміну думками, творчої дискусії, так, щоб цікавість викликав не результат, а саме процес розв’язування задачі, тобто процес пізнання. В основі ситуації – організація групової діяльності, що дозволяє найбільшою мірою створити атмосферу спільного творчого пошуку.

Діяльність учня в ситуації інтеграції характеризується проявом осмисленного ставлення до вивчених фактів і способами їх пояснення, самостійним знаходженням проблем, проявом евристичної позиції в навчальному процесі. Тобто учень самостійно визначає ступінь своєї готовності до того стану, під час «проживання» якого в учня виникає необхідність продовжувати аналізувати умови задачі , комбінувати дані, узагальнювати або, навпаки, накладати додаткові умови, тобто самостійно ставити проблемну мету діяльності для її подальшого розв’язування.

Приклад системи завдань та актуалізація

евристичних ситуацій з геометрії.

Тема: Найпростіші геометричні фігури та їх властивості.

Ситуація орієнтування.

1.

2. Кожний із трьох відрізків перетинає два інших. Скільки при цьому отримується відрізків?

3. Чи завжди можна провести пряму через дві точки, три точки?

4. Які геометричні поняття використовуються для означення кута?

5. Знайти:

а) всі промені, що зображені на рисунках;

б) пари доповнювальних півпрямих.

L

F P D Z

I

E O C K O M H O V

S M

6. Із показаних нижче тверджень підкресліть правильні. Два суміжні кути дорівнюють відповідно:

а) 135° і 55°; б) 25° і 75°; в) 58° і 122°; г) 62° і 110°.

Ситуація пошуку.

1. Чи існує точка, яка належить чи не належить відрізку АВ, але належить прямій АВ?

2. Точка В лежить між точками А і С. Позначте правильні рівності і нерівності:

а) АВ+ВС= АС; б) АС-АВ=ВС; в) ВС+АС >АВ;

г) АВ+АС<ВС; д) АС-ВС >АВ.

3.Сума двох кутів дорівнює розгорнутому куту. Чи можна стверджувати, що ці кути суміжні? Зробіть рисунок.

4. Скільки прямих, паралельних стороні АС ∆АВС, можна провести через вершину В, будь яку іншу точку Q?

5. Закінчіть думку: якщо суміжні кути рівні, то вони…

6. Відрізки АВ і СД рівні. Доведіть АС = ВД.

Ситуація перетворення.

1. Чому лапки висувної антени приймача лежать на одній прямій?

2. Як можна побудувати дві паралельні прямі, використовуючи косинець?

3.Покажіть, як за допомогою півметрової лінійки побудувати двометровий відрізок.

4. Прикладаючи косинець то одним, то іншим боком, учень через точку А провів два перпендикуляри до прямої а. Що можна сказати про такий косинець?

Ситуація інтеграції.

1. Сформулюйте означення паралельних прямих. Чи можна слова «на площині» опустити?

2. Третя частина кута дорівнює п’ятій частині суміжного з ним кута. Який кут більший?

3. Як можуть розташовуватися бісектриси двох вертикальних кутів?

4. Як можуть розташовуватись точки А, О, С, якщо бісектриси <АД В і <ВСД лежать на одній прямій?

5. Точки А, В, С, Д послідовно розміщені на прямій:

АД = m, ВС = n. Знайдіть відстань між серединами відрізків АВ і СД.

Великі можливості для розвитку логічного мислення мають вправи, які пропоную при закріпленні вивченого матеріалу або при підведенні підсумків уроку. Підбираю нестандартні вправи, які активізують творче мислення.

Приклади:

«Розв’язування нелінійних систем рівнянь», 11 клас.

1.) Розв’язати системи:

а) х⁵+3х²у² –7х^{3 +}10ху+5=5, б) х⁴+3х²у+8ху²+10=18,

х²+у²=0; х²+у²=-10;

в) х⁷+3х³у³+8=3,

х²+у²=0;

2.) Скласти систему рівнянь яка б мала даний розв’язок

(1;1), (-1;-1), (-1; 1), (1;-1).

«Модуль числа», 6-й клас.

1. Порівняйте : а) а і –a; б)⃓ а⃓ - а і ⃓ а⃓ + а; в)⃓ а⃓ + 1 і ⃓ а +1⃓.

2. Знайти значення виразу при різних значеннях змінної:

; ; ; - ; - - .

3. Не виконуючи ніяких перетворень, розв’язати рівняння:

⃓х𝖨 + х =0 ⃓х𝖨 - х =-2х

⃓х𝖨 + х =2х ⃓х⁴ - 5 х ² +6⃓ =-2

⃓х𝖨 - х =0 ⃓х-3𝖨 =3.

По темі «Логарифми» пропоную такі творчі вправи.

1. Знайти знак добутку :

lg sin32° · lg cos 17° · lg tg 40° · lg ctg 20°.

2. Обчисліть:

а)lg tg 2° + lg tg 4° + lg сtg 2° + lg ctg 4°;

б) lg tg 3° · lg tg 6° · lg tg 9° · … · lg tg 87°;

в) lg tg 1° · lg tg 2° · … · lg tg 89° .

3. Знайти значення добутку:

log₃2 · log₄3 · log₆5 · … · lоg₁₀9, якщо lg2=0,301.

Формування потреби в самоконтролі починаю з того, що вчу учнів знаходити помилки у свого товариша й навіть в учителя. З часом учень почне переносити набуті вміння на власну діяльність.

Для досягнення цієї мети використовую такі прийоми роботи:

1. Одну і ту ж задачу розв’язують три учні біля дошки, а решта на місцях. З часом аналізуємо роботу учнів на дошці, учні порівнюють зі своїми розв’язками.

2. Привчаю учнів контролювати розповідь вчителя. Я практично не наголошую на типових помилках, які зустрічаються під час розв’язування завдань, а будую розповідь так, щоб в ній містилися ці помилки, а учні повинні їх помітити.

Наприклад: а ≠ в.

а² - 2ав + в² = а² - 2ав + в²,

(а – в)² = (а – в)²,

а – в = а – в,

2а = 2в,

а = в. Чому?

3. Часто пропоную учням перевірити роботу казкових героїв.

4. Якщо учень розв’язав задачу з помилкою і є можливість дати йому час на знаходження цієї помилки, то я цю можливість використовую. І якщо учень знайшов помилку, то оцінку не знижую.

5. Вимагаю, щоб під час перевірки учні звертали увагу на те:

- чи всі дані умови задачі використані;

- чи обгрунтовані кроки розв’язування задачі;

- чи не використовувались додаткові дані, про які не сказано в задачі;

- чи послідовні логічні переходи.

Добре відомо, що прикладні задачі підвищують інтерес учнів до математики, сприяють формуванню правильного розуміння природи математики.

Наведу приклади таких задач.

1.

2. На птахофабриці продукцію від кур отримують протягом 1 року. За рік від кожної курки отримують по 250 яєць, маса яйця – 60 г. Жива маса курки – біля 1,8 кг. У скільки разів продукція курки перевищує її масу?

3. Вологість трави 80%, а сіна – 17%. Скільки сіна вийде з 1 т трави?

5. Сторона земельної ділянки прямокутної форми 60 м. Якою повинна бути друга сторона ділянки, щоб її периметр був менший за периметр квадратної ділянки зі стороною 40м?

6. Сплав міді і цинку містить міді на 2 кг більше, ніж цинку. Після вилучення зі сплаву 6/7 міді і 6 цинку маса сплаву виявилась рівною 3 кг. Знайти початкову масу сплаву.

7. Є 36 л розчину 3% азотної кислоти /НNO₃/.

Скільки літрів розчину 6% азотної кислоти треба долити в посудину, щоб після того як доллється вода, отримати 54 л розчину 5% азотної кислоти?

8. Перший розчин складається з цементу і піску в пропорції 3 : 4, другий розчин містить цемент і пісок у відношенні 1:2. В якому масовому відношенні треба взяти перший і другий розчин, щоб отримати розчин, який містить цемент і пісок у відношенні 15 : 22?

9.

10.

11. Дві сили 202,1Н і 223,15Н діють на тіло і прикладені до однієї точки тіла під кутом 50° одна до одної. Обчислити модуль рівнодійної і кути між нею і діючими силами.

12.Використання електроенергії населенням села Пересадівка з 8⁰⁰ до 13⁰⁰ приблизно описується функцією у=10000 – 3t + 15t², де t – час в годинах. Обчислити вартість електроенергії використаної населенням села, якщо вартість 1кВт/год дорівнює 25 коп.

13. Колгосп отримав кредит в розмірі 240 тис. грн. на 8 років за ставкою складних відсотків, що дорівнює 5%. Знайти кінцеву заборгованість колгоспу.

Висновки

Значення вправ у системі вивчення шкільного курсу математики загальновідоме. Органічно пов’язані з теоретичними відомостями вправи не лише їх ілюструють, а й глибоко розкривають і доповнюють теорію. Через систему вправ формуються поняття, виробляються вміння та навички. Вдало підібрані вправи сприяють встановленню зв’язків між різними розділами шкільного курсу математики та іншими предметами.

Логічне мислення розвивається інтенсивніше, якщо створювати на уроках атмосферу пошани, заохочувати ініціативу і стимулювати творчість учнів. Системний розвиток логічного мислення повинен бути невідривним від уроку, кожен учень повинен брати участь в процесі рішення не тільки стандартних завдань, але і завдань розвиваючого характеру (активно або пасивно).

Систематичне використання на уроках математики і позаурочних заняттях спеціальних задач і завдань, спрямованих на розвиток логічного мислення, розширює математичний кругозір школярів і дозволяє більш упевнено орієнтуватися в найпростіших закономірностях життя, а також активніше використовувати математичні знання в повсякденному житті. Тому в якості одного з основних принципів нової концепції в "математику для всіх" на перший план висунута ідея пріоритету розвиваючої функції навчання математиці. Відповідно до цього принципу центром методичної системи навчання математиці стає не вивчення основ математичної науки як такий, а пізнання навколишнього світу людини засобами математики і, як наслідок, до динамічної адаптації людини до цього світу, до соціалізації особистості.

Отже, найважливішою задачею математичної освіти є озброєння учнів загальними прийомами мислення, просторової уяви, розвиток здатності розуміти зміст поставленої задачі, уміння логічно міркувати, засвоїти навички алгоритмічного мислення.

Список використаних джерел

1.А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Підручник Алгебра 7, 8, 9, 10, 11 клас.

2.А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Підручник Геометрія 7, 8, 9, 10, 11 клас.

3. Можливості шкільного підручника у формуванні в учнів умінь самоконтролю і оцінювання навчальних досягнень // Пробл. сучас. підручн.: Зб. наук. Праць.-- К.: Пед. Думка, 2010. -- Вип. 10.

4. Давидов, В. В. Проблема розвивального навчання / В. В. Давидов. - М., 2003.

5.Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник. 2 - ге вид., доп. І переробл. К.: Вища шк., 2006.

6. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учити школярів вчитися математиці: Формування прийомів учбової діяльності: кн. для вчителя. - М.: Освіта, 1990