Мирного всім дня!
Сьогодні продовжуємо повторення вивченого.
Запишіть у зошитах:
6 травня
Класна робота
Повторення. Читирикутники
Перегляньте, пригадайте, задачі запишіть:
Ознаки паралелограма.Якщо у чотирикутнику:
1) дві сторони паралельні і рівні, або2) протилежні сторони попарно рівні, або3) діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться пополам, або4) протилежні кути попарно рівні, то чотирикутник є паралелограмом.
Приклад. У чотирикутнику ABCD AD = ВС, CAD = ACB, АВ = 3 см. Знайдіть CD та визначте вид чотирикутника ABCD.
Розв’язання. 1) АС – спільна сторона ∆CAD і ∆АСВ.2) Маємо: ∆CAD = ∆АСВ (за двома сторонами і кутом між ними). Тому CD = АВ = 3 см.3) У чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні, тому він є паралелограмом.
Прямокутник Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі (мал. 242).
Розглянемо властивості прямокутника:
1) У прямокутнику протилежні сторони попарно рівні.На малюнку 242: АВ = СD, АD = ВС.
2) Периметр прямокутника РАВCD = 2(АВ + ВС).
3) Діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться пополам.На малюнку 243: АС = ВD і АО = ОС, ВО = DО. Оскільки АС = ВD, то матимемо АО = ВО = СО = DО. Тому маємо наступну властивість.
4) Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.
Приклад 1. Діагональ прямокутника ділить його кут у відношенні 4:5. Знайдіть кут між діагоналями даного прямокутника.
Розв’язання. 1)Нехай АDО : ОDС = 4 : 5. Позначимо АDО = 4х, ОDС = 5х. Тоді 4х + 5х = 90°; х = 10°. Тому АDО = 4 ∙ 10° = 40°; ОDС = 5 ∙ 10° = 50°.2) ∆ОСD - рівнобедрений (бо ОD = ОС). Тому ОСD = ОDС = 50°. У ∆ОСD: ОСD = 180° - 2 ∙ 50° = 80°. Отже, кут між діагоналями даного прямокутника дорівнює 80°.
Приклад 2. У прямокутнику АВСD діагоналі перетинаються в точці О. ОР - бісектриса трикутника АОВ, DОР = 160°. Знайдіть САВ.
Розв’язання 1) РОВ = 180° - 160° = 20°.2) Оскільки ОР - бісектриса ∆АОВ, то ВОА = 2 ∙ 20° = 40°.3) ∆АОВ - рівнобедрений (бо АО = ОВ), тому САВ-?
Приклад 3. Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а його діагональ 13 см. Знайдіть сторони прямокутника.Розв’язання. 1) Нехай сторони прямокутника дорівнюють а см і b см.Тоді 2(а + b) = 34, тобто а + b = 17 і 2) Маємо систему.Отже, сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 12 см.
Ознаки прямокутника.Якщо у паралелограма:
1) всі кути рівні, або2) один кут прямий, або3) діагоналі рівні, то паралелограм є прямокутником.
Приклад. У колі з центром О проведено діаметри АС і ВD (мал. 246). Визначте вид чотирикутника АВСD.
Розв’язання. 1) Оскільки АО = ОС, ВО = ОD (як радіуси), то, за ознаками паралелограма, маємо, що АВСD - паралелограм.2) Оскільки АС = ВD (як діаметри), то використовуючи ознаку прямокутника, маємо, що паралелограм АВСD є прямокутником.
Ромб та його властивості.Ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні
Розглянемо властивості ромба:
1) Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°.
2) У ромба протилежні кути рівні.На малюнку 247: A = C; B = D.
3) Діагоналі ромба перетинаються і точкою перетину діляться пополам. АО = ОС; ВО = ОD.
4) Периметр ромба РАВCD = 4 ∙ АD.
5) Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. АС і ВD.
6) Діагоналі ромба ділять кути ромба пополам.Враховуючи цю властивість і властивість 2 можна зауважити, що Приклад 1. Периметр ромба на 15 см більший за його сторону. Знайдіть сторону ромба.
Розв’язання. Нехай сторона ромба дорівнює а см, тоді його периметр дорівнює 4а см. За умовою 4а - а = 15; 3а = 15; а = 5 (см). Отже, сторона ромба дорівнює 5 см.
Приклад 2. Кут між висотою і діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини і дорівнює 26°. Знайдіть гострий кут ромба.
Розв’язання. 1) BD - діагональ ромба ABCD, ВК - його висота (мал. 250), KBD = 26° (за умовою).2) У ∆BKD BDK = 90° – 26° = 64°.3) ADC = 2 ∙ 64° = 128°. Тоді BAD = 180° - 128° = 52°. Отже, гострий кут ромба дорівнює 52°.
Ознаки ромба.Якщо у паралелограма:1) дві сусідні сторони рівні, або2) діагоналі перетинаються під прямим кутом, або3) діагональ ділить навпіл кут паралелограма, то паралелограм є ромбом.
Приклад. Всі сторони чотирикутника рівні. Встановіть вид чотирикутника.
Розв’язання. 1) Нехай АВ = ВС = СD = DА. Оскільки у чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то за означенням паралелограма, маємо, що АВСD - паралелограм.2) У паралелограма АВСD сусідні сторони рівні. Тому АВСD - ромб (за ознакою ромба).
Квадрат та його властивості.Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні
Сформулюємо властивості квадрата:
1) Усі кути квадрата прямі.
2) PABCD = 4 ∙ AВ
3) Діагоналі квадрата рівні.АС = BD.
4) Діагоналі квадрата перпендикулярні і точкою перетину діляться пополам. АС BD і АО = ВО = CO = DO (враховуючи властивість 3).5) Діагоналі квадрата ділять його кути пополам, тобто утворюють зі сторонами квадрата кути 45°.
Приклад 1. Точка перетину діагоналей квадрата віддалена від його сторони на 5 см. Знайдіть периметр квадрата.
Розв’язання. 1) Нехай точка О - точка перетину діагоналей квадрата ABCD (мал. 253). OK AD, OK = 5 см - відстань від точки О до сторони квадрата AD.2) ОК - висота рівнобедреного трикутника AOD (у якого АО = OD), тому вона також медіана і бісектриса.3) Оскільки то ∆АОК - рівнобедрений АК = КО = 5 см. Аналогічно KD = 5 см.4) Сторона ромба АD = 5 ∙ 2 = 10 (см), його периметр Р = 10 ∙ 4 = 40 (см).Приклад 2. У рівнобедрений прямокутний трикутник АВС (C = 90°) вписано квадрат CMNK так, що прямий кут у трикутника і квадрата спільний, а точка N належить АВ. Периметр квадрата дорівнює 40 см. Знайдіть довжину катета трикутника.Розв’язання. 1) На малюнку 254 квадрат СМNК вписано у ∆АВС вказаним способом.3) A = 45°. В ∆AMN: ANM = 90° - 45° = 45°. Тому ∆AMN - рівнобедрений і AM = MN = 10 (см).4) Тоді катет трикутника АС = СМ + МА = 10 + 10 = 20 (см).
Ознаки квадрата.1) Якщо діагоналі прямокутника перпендикулярні, то він є квадратом.
2) Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.
Приклад. У чотирикутника всі сторони рівні всі кути рівні. Визначте вид чотирикутника.Розв’язання. 1) Оскільки у чотирикутника всі кути рівні, то за ознакою прямокутника, він є прямокутником.2) Оскільки у прямокутника всі сторони рівні, то він є квадратом.
Гарного всім дня!
Чекаю ваші конспекти в ОП!