Поле завжди говорить своїми цифрами.
Десь яблуні дали більше врожаю, десь менше. Один сорт виявився урожайнішим за інший, після внесення більшої дози добрив урожайність зросла, а результати різних повторень одного досліду трохи відрізняються між собою.
Але в агрономії важливо не лише побачити різницю.
Важливо зрозуміти, чи справді ця різниця має значення, чи вона могла виникнути випадково.
Саме тут на допомогу приходить математична статистика.
Вона дозволяє подивитися на результати польового досліду не лише очима, а й через математичні критерії. Середнє значення показує загальну картину, дисперсія допомагає побачити мінливість, а критерії перевірки гіпотез дозволяють оцінити, наскільки переконливою є виявлена різниця.
Статистична гіпотеза: що саме ми перевіряємо?
Перш ніж рахувати, потрібно сформулювати припущення.
Нульова гіпотеза H₀ стверджує, що статистично значущої різниці немає.
Альтернативна гіпотеза H₁ стверджує, що статистично значуща різниця є.
Наприклад, ми хочемо дослідити, чи відрізняється урожайність яблуні за двох доз добрив.
Тоді:
H₀: середня урожайність за доз 40 і 80 кг/га не відрізняється статистично значуще.
H₁: середня урожайність за доз 40 і 80 кг/га відрізняється статистично значуще.
Для перевірки такої гіпотези можемо використати t-критерій Стьюдента.
t-критерій у польовому досліді
Розглянемо умовний приклад досліду з яблунею.
Було досліджено два варіанти внесення добрив, по 5 повторень у кожному.
Доза 40 кг/га
18; 19; 20; 18; 20 т/га
Доза 80 кг/га
22; 23; 24; 22; 24 т/га
На перший погляд різниця очевидна.
Але математика запитує:
Чи достатньо велика ця різниця, щоб вважати її статистично значущою?
Крок 1. Знаходимо середні значення
Для першого варіанта:
x̄₁ = (18 + 19 + 20 + 18 + 20) ÷ 5
Сума всіх п'яти результатів:
18 + 19 + 20 + 18 + 20 = 95
Кількість результатів:
n₁ = 5
Тому:
x̄₁ = 95 ÷ 5 = 19 т/га
Отже, середня урожайність за дози 40 кг/га становить 19 т/га.
Для другого варіанта:
x̄₂ = (22 + 23 + 24 + 22 + 24) ÷ 5
Сума:
22 + 23 + 24 + 22 + 24 = 115
Кількість результатів:
n₂ = 5
Тому:
x̄₂ = 115 ÷ 5 = 23 т/га
Середня урожайність за дози 80 кг/га становить 23 т/га.
Різниця між середніми:
23 − 19 = 4 т/га
Ми вже бачимо, що середня урожайність відрізняється на 4 т/га.
Але поки що це лише спостережувана різниця.
Крок 2. Визначаємо дисперсію
Щоб зрозуміти, наскільки результати розсіюються навколо середнього значення, обчислюємо вибіркову дисперсію:
s² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Для першого варіанта середнє дорівнює:
x̄₁ = 19
Відхилення окремих результатів від середнього:
18 − 19 = −1
19 − 19 = 0
20 − 19 = 1
18 − 19 = −1
20 − 19 = 1
Підносимо ці відхилення до квадрата:
(−1)² = 1
0² = 0
1² = 1
(−1)² = 1
1² = 1
Сума квадратів відхилень:
1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 4
Оскільки маємо 5 спостережень:
n − 1 = 5 − 1 = 4
Тому:
s₁² = 4 ÷ 4 = 1
Для другого варіанта середнє:
x̄₂ = 23
Відхилення:
22 − 23 = −1
23 − 23 = 0
24 − 23 = 1
22 − 23 = −1
24 − 23 = 1
Квадрати відхилень:
1; 0; 1; 1; 1.
Сума:
1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 4
Тому:
s₂² = 4 ÷ 4 = 1
Отже:
s₁² = s₂² = 1
Дисперсії двох вибірок у нашому прикладі однакові.
Крок 3. Обчислюємо розрахункове значення t
Оскільки дисперсії однакові, використовуємо об'єднану дисперсію:
sₚ² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²] ÷ (n₁ + n₂ − 2)
Підставляємо наші значення:
sₚ² = [(5 − 1) × 1 + (5 − 1) × 1] ÷ (5 + 5 − 2)
sₚ² = (4 × 1 + 4 × 1) ÷ 8
sₚ² = (4 + 4) ÷ 8
sₚ² = 8 ÷ 8 = 1
Тепер обчислюємо t:
t = (x̄₂ − x̄₁) ÷ √[sₚ² × (1/n₁ + 1/n₂)]
Підставляємо:
t = (23 − 19) ÷ √[1 × (1/5 + 1/5)]
Спочатку:
23 − 19 = 4
А:
1/5 + 1/5 = 0,2 + 0,2 = 0,4
Отже:
t = 4 ÷ √0,4
√0,4 ≈ 0,632
Тому:
t = 4 ÷ 0,632 ≈ 6,32
Отримуємо:
tрозр = 6,32
Крок 4. Знаходимо критичне значення t
Тепер нашому розрахунку потрібно знайти своєрідну математичну «межу», з якою ми порівняємо отримане значення.
Кількість ступенів свободи:
ν = n₁ + n₂ − 2
ν = 5 + 5 − 2 = 8
Приймаємо рівень значущості:
α = 0,05
Оскільки перевіряємо двосторонню гіпотезу, ділимо рівень значущості навпіл:
α/2 = 0,05 ÷ 2 = 0,025
І тут є важлива особливість таблиці t-критерію.
У таблиці, яку ми використовуємо, стовпчики позначені не 0,025, а значеннями накопиченої ймовірності:
0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995...
Тому для двосторонньої перевірки при α = 0,05 потрібно знайти:
1 − α/2 = 1 − 0,025 = 0,975
Отже, шукаємо:
рядок ν = 8
і
стовпчик 0,975
На їхньому перетині:
tкр = 2,306
NIST прямо пояснює, що для двостороннього тесту при α = 0,05 потрібно використовувати стовпчик 1 − α/2 = 0,975.
Порівнюємо
tрозр = 6,32
tкр = 2,306
Оскільки:
6,32 > 2,306
нульову гіпотезу відхиляємо.
Висновок
У нашому умовному польовому досліді різниця між середньою урожайністю за двох доз добрив є статистично значущою на рівні α = 0,05.
Середня урожайність за дози 40 кг/га становила 19 т/га, а за дози 80 кг/га — 23 т/га.
Різниця становила:
4 т/га.
Цей приклад показує важливу річ: статистика дозволяє перейти від простого спостереження «тут урожай більший» до обґрунтованого висновку про статистичну значущість виявленої різниці.
F-критерій: коли нас цікавить не середнє, а мінливість
У польовому досліді важливо знати не тільки, яке середнє значення ми отримали.
Іноді не менш цікаво побачити, наскільки стабільними були результати.
Два варіанти можуть мати близькі середні значення, але в одному випадку результати будуть майже однаковими, а в іншому — сильно розсіюватимуться.
Для порівняння дисперсій використовують F-критерій Фішера.
Розглянемо окремий умовний приклад.
Перший варіант:
18; 19; 20; 18; 20 т/га
Для нього ми вже знайшли:
s₁² = 1
Другий варіант:
16; 18; 20; 22; 24 т/га
Знаходимо дисперсію другого варіанта
Середнє:
x̄₂ = (16 + 18 + 20 + 22 + 24) ÷ 5
x̄₂ = 100 ÷ 5 = 20 т/га
Відхилення від середнього:
16 − 20 = −4
18 − 20 = −2
20 − 20 = 0
22 − 20 = 2
24 − 20 = 4
Квадрати відхилень:
16; 4; 0; 4; 16.
Сума:
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
Оскільки:
n = 5
то:
n − 1 = 4
Дисперсія:
s₂² = 40 ÷ 4 = 10
Отже, маємо:
s₁² = 1
s₂² = 10
Крок 2. Обчислюємо F
У чисельник ставимо більшу дисперсію:
F = s²max ÷ s²min
У нашому прикладі:
F = 10 ÷ 1 = 10
Отже:
Fрозр = 10
Крок 3. Знаходимо критичне значення F
Для першої вибірки:
ν₁ = n₁ − 1 = 5 − 1 = 4
Для другої:
ν₂ = n₂ − 1 = 5 − 1 = 4
Рівень значущості:
α = 0,05
У таблиці F-критерію знаходимо:
ν₁ = 4
ν₂ = 4
Для α = 0,05 отримуємо:
Fкр = 6,39
Таблиця критичних значень F при рівні значущості 0,05 показує для ν₁ = 4 та ν₂ = 4 значення приблизно 6,39.
Порівнюємо:
Fрозр = 10
Fкр = 6,39
Оскільки:
10 > 6,39
нульову гіпотезу про рівність дисперсій відхиляємо.
Висновок
У цьому умовному прикладі дисперсії двох варіантів статистично значуще відрізняються при α = 0,05.
Перший варіант має дисперсію 1, а другий — 10. Отже, результати другого варіанта мають значно більшу мінливість.
Для агрономічного досліду це важлива інформація, адже середнє значення саме по собі не показує всієї картини. За однакового або близького середнього врожаю один варіант може давати дуже стабільні результати, а інший — значно сильніше коливатися.
Коли цифри починають розповідати історію
Польовий дослід складається не лише з рослин, ґрунту, погоди, добрив і праці людини.
Він складається ще й із чисел.
А математична статистика допомагає почути, що саме ці числа говорять.
Середнє показує нам загальний рівень урожайності.
Дисперсія показує, наскільки результати розкидані навколо середнього.
t-критерій допомагає перевірити, чи є відмінність між середніми статистично значущою.
F-критерій допомагає порівняти мінливість двох вибірок.
І тоді за звичайними цифрами врожайності починає вимальовуватися закономірність.
Для майбутнього агронома це означає більше, ніж просто вміння виконати математичну формулу. Це вміння читати результати польового досліду, відділяти випадкові коливання від статистично значущих відмінностей і будувати висновки на основі даних.
Адже поле дає нам результати.
А статистика допомагає зрозуміти їхній зміст.
Таблиці для роботи
Таблиця критичних значень t-критерію Стьюдента:
NIST — Critical Values of the Student's t Distribution
Для нашого прикладу: ν = 8, α = 0,05, двосторонній критерій → шукаємо 0,975 → tкр = 2,306.
Таблиця критичних значень F-критерію Фішера при α = 0,05:
F-Distribution Critical Values Table — α = 0,05
Для нашого прикладу: ν₁ = 4, ν₂ = 4 → Fкр = 6,39.
