Запитайте школярів, що їм подобається більше, геометрія чи алгебра? Майже кожен з них (звісно, лише здатний розрізнити такі «тонкі» нюанси на 4-му році української «онлайн» освіти) відповість – алгебра! Зазвичай це відбувається тому, що вона здається набагато простішою за геометрію. Адже більшість наших шкільних завдань у цьому розділі математики за дві секунди зводяться до невеликої кількості «стандартних» рівнянь, а для інших є тисячі вже придуманих раніше алгоритмів розв’язку, які легко знайде Google або взагалі самостійно оформить ChatGPT. Не дарма ж існують такі розділи алгебри як комбінаторика, теорії графів та алгоритмів, матричні обчислення… А ось у геометрії, навпаки, дуже часто трапляються завдання, до яких не знайти загальних підходів та які, навпаки, вимагають додаткових побудов, до яких ще доведеться здогадатися самому!Відсутність «стандартних» технологій розв'язання елементарних геометричних завдань стала перешкодою для всіх, хто намагався нею скористатись для вирішення практичних цілей. Адже в природознавстві, фізиці, механіці та техніці доводиться зустрічатися з набагато складнішими об'єктами*, ніж ті, що має у своєму арсеналі шкільна геометрія. Це різноманітні ланцюгові та гвинтові лінії, еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, псевдосфери etc.Нескладно уявити, якою винахідливістю та водночас працьовитістю треба було володіти, щоб вирішувати завдання з цими хитрими формами, коли до кожного розв’язання потрібно доходити за допомогою механічного перебору різних варіантів побудов та щасливих здогадів, що потребують величезного практичного досвіду! Тому математики не сиділи склавши руки, а почали шукати загальні алгоритми для геометрії. Які? Скоро ви з ним познайомитеся, а сьогодні ми поговоримо про їхнього предтечу, без якого всі ці технології були б абсолютно неможливими.Отже, зустрічайте: система координат! Перші згадки про системи координат можна знайти ще у роботах грецьких математиків Евкліда та Аполонія. Їхні зусилля були викликані гострою потребою акуратного числового опису просторових об'єктів. Адже без них майже неможливо було правильно вимірювати відстані на землі, що було важливо і аграріям, і будівельникам, а також для створення точних географічних карт для купців. Однак із падінням Римської Імперії вся діяльність у цьому напрямі була надовго закинута.Але проблема ж залишилася!Тому, як тільки економіка «середніх» віків відновилася настільки, щоб давати достатньо додаткового продукту для того, щоб прогодувати тих чи інших фахівців, вони знову зайнялися цим питанням.Так французький католицький священник Микола Орем у своєму трактаті «Tractatus de configuration ibus qualitatum et motuum» використовував прямокутні графіки залежності швидкості від часу вже у 14 столітті!Проте знадобилося ще триста років еволюції провідних європейських держав, щоб вони змогли повернутися на колишній рівень науково-технічного та суспільного розвитку і широке впровадження подібних підходів виявилося справді потрібним. Цей момент в історії пов'язаний із двома великими французами – Рене Декартом та П'єром Ферма.Як відомо, Декарт заклав основи аналітичної геометрії, яка нарешті дозволила представляти геометричні об'єкти у вигляді рівнянь алгебри та отримувати всі потрібні відповіді без побудов і вимірювань! Однак не для всіх очевидно, що це стало можливим лише тоді, коли він ввів систему для опису розташування тих чи інших точок на площині**.Тож зараз спеціально для широкого загалу ми продемонструємо, як це працює на короткому та яскравому прикладі.Уявіть, що вам потрібно визначити площу НЕ прямокутного трикутника.Ще великий Евклід і Ко повідомили, що для цього потрібно просто перемножити його основу на його висоту та поділити навпіл. Залишилася справжня «дрібниця»: вкрай акуратно та максимально точно намалювати цей трикутник на папері один до одного або у масштабі, а потім спромогтися опустити на його основу висоту так, щоб кут між цими двома лініями справді дорівнював рівно 90 градусів! Ну і як вишенька на торті - точно виміряти отриману висоту.Просто подумайте, скільки промашок у цих побудовах ви припуститеся та як вони, накопичуючись, вплинуть на підсумкові значення виміряних розмірів! Звичайно, якщо робити все дуже вправно з використанням дуже дорогих та якісних інструментів, ви не отримаєте похибки розмірів більше, ніж кілька %, а скоріше за все - значно менше. Але це тепер, а на зорі нового часу, застосовуючи ті досить примітивні лінійки та косинці, ви навряд чи промахнулися б у визначенні площі менше, ніж відсотків на 5-10. І, уявіть собі, вже у 16-17 столітті промислова революція зробила таку точність неприйнятно низькою при розбудові різноманітних механізмів та машин***!Як же бути?!Ось тут і варто використовувати відкриття Декарта та рівняння його аналітичної геометрії!Адже для довільного трикутника з вершинами А (х₁, у₁), В (х₂, у₂) і С (х₃, у₃) формула для обчислення його площі матиме такий дуже простий вигляд****:S= |(x₂ - x₁)( у₃ - y₁) – (х₃ - x₁)( у₂ - y₁)|/2Наприклад, якщо ви хочете знайти площу трикутника, показаного на нашій картинці, яка має у нашій системі координати А (3, 4), В (5, 7) і С (9, 6), то х₁ = 3, у₁ = 4, х₂ = 5, у₂ = 7, х₃ = 9, у₃ = 6, то, вона дорівнюватиме:S = ((5-3) х (6-4) - (9-3) х (7-4)) / 2 = 14 / 2 = 7.Все!Ми знайшли площу трикутника в одну дію та без жодного креслення!Це означає, що з багатьма завданнями з геометрії можна впоратися методами алгебри – взагалі без побудов, що на порядок полегшує процес їх вирішення.Сподіваємося, тепер ви зрозуміли, наскільки система координат та побудовані на її основі обчислювальні технології спрощують життя будь-яким технічним (і не лише!) фахівцям. Наприклад, такі підходи широкого використовуються в геодезії для навігації - визначення розташування об'єктів на Землі та вас щодо них – привіт, GPS!Дуже дякуємо за переклад українською нашого читача Сергія Пойду.P.S. Нагадуємо, що для більшої зручності (адже вередливий FB часто ховає «непопулярні» пости від користувачів) ви можете стежити за виходом нових наших публікацій у Телеграмі: https://t.me/ScncHUBі в Інстаграмі: https://www.instagram.com/_science.hub_/ * Про те, де у реальному житті успішно застосовуються ті чи інші «абстрактні» геометричні фігури, ми розповідали тут: https://www.facebook.com/ScncHUB/posts/pfbid02DVd6MkkKDbpzaakhaQssMxeyeAa1jEWav5VU7XwEBiFEWguKJFXu5K8iHiX1TTR8l** П'єр Ферма зробив не менший внесок у розвиток координатного методу, проте, будучи професійним юристом, вважав свою «математичну» діяльність несерйозною забавою, яка не має особливої «побутової» користі. Через це всі його серйозні роботи у цій галузі були вперше опубліковані лише після його смерті. Тому в історії всі ці досягнення пов'язують у першу чергу з Декартом, який подбав не тільки про публікацію своїх відкриттів, але і їх широку популяризацію та практичне застосування.*** Ми розуміємо, що деіндустріалізація, що відбувається останні 30 років, призвела до практично повної відсутності у нашій Україні серйозних машинобудівних виробництв, і це робить неочевидним для більшості її мешканців такі моменти, тому намагаємося звертати на них особливу увагу.**** Не варто думати, що отримати це рівняння також просто, як його використати. Якраз навпаки! Але, як ви вже переконалися, люди у розвинутих країнах готові платити складністю його отримання за точність результатів, набутих за його допомогою!
Стрічка блогів
