Тема уроку: Повторення. Розв’язування логарифмічних рівнянь.

Мета уроку: повторити і систематизувати знання і вміння учнів розв’язувати

логарифмічні рівняння різними способами;

формувати вміння й навички учнів розв’язувати логарифмічні

рівняння нестандартними способами;

готувати учнів до ЗНО;

розвивати вміння логічно мислити при виборі способу розв’язу-

вання рівнянь, правильно висловлювати свої думки усно і у

письмовому вигляді;

виховувати уважність, самостійність, відповідальність,

при виконанні завдань.

Тип уроку: формування знань, вмінь і навичок

Обладнання та наочність: підручники, заготовлені групові завдання

Хід уроку.

І. Організаційний момент.

ІІ. Формування мети і завдань уроку.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Логарифмічними називаються рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд log_a х = b, де а > 0 ,а ≠ 1, х > 0. З означення логарифма випливає, що x = a^b.

Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння:

log_a x  =  log_a b, де а > 0, а  1, х > 0, b > 0.

Із цього рівняння випливає, що х = b.

В основному, усі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв’язувати, зводяться до розв’язування найпростіших рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння log₃ (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2х + 1 = 3², 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log₃ (2 ∙ 4 + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 4.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння log₃ х = log₃ (6 - х²).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає

х = 6 - х²; х² + х - 6 = 0; х₁ = -3; х₂ = 2.

Перевірка:

1) число - 3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log3 (- 3) — не визначений;

2) log₃х = log₃2; log₃(6 - х²) = log₃(6 - 2²) = log₃2.

Відповідь: 2.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння log_x+1 (2x² + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2x² + 1 = (х + 1)²; 2x² + 1 = х² + 2х + 1; х² - 2х = 0; х₁ = 0; х₂ = 2.

Перевірка:

1) значення x = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма x + 1 не повинна дорівнювати 1;

2) log₂₊₁ (2 ∙ 2² + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 2.

Зазначимо, що в прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не призводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного з одержаних коренів обов’язкова, якщо немає впевненості у рівносильності рівнянь.

Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння log²₂ х - 3 log₂ х = 4.

Розв'язання

Позначимо log₂ х через у. Дане рівняння набуває вигляду:

у² - 3у = 4; у² - 3у - 4 = 0; у₁ = 4; у₂ = -1.

Звідси log₂x = 4, log₂x = -1; x = 2⁴, x = 2^-1; x = 16, x =  .

Перевірка:

1) log²₂16 - 31og₂ 16 = 16 -12 = 4;

2) log²₂  - 3log₂   = 1 + 3 = 4.

Відповідь: 16,  .

2. Метод потенціювання.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння log₅ (x - 1) + log₅ (х - 2) = log₅ (х + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log₅ ((х - 1 )(х - 2)) = log₅ (х + 2); (х - 1)(х - 2) = х + 2;

х² - 2х - х + 2 = х + 2; х² - 4х = 0; х(х - 4) = 0;

х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1) значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log₅ (х - 1) і log₅ (х - 2) не мають змісту при х = 0;

2) log₅(х - 1) + log₅(х - 2) = log₅(4 - 1) + log₅(4 - 2) = log₅3 + log₅2 = log₅ (2 ∙ 3) = log₅ 6.

Отже, x = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Метод зведення логарифмів до однієї основи.

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння  _{ }=3.

Розв’язання

_{ }=3;  _{ }=3;log₃x – 2 ∙   = 3;

log₃x + 2log₃х = 3; 3log₃x = 3; log₃x = 1; х = 3.

Перевірка: _{ } = 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.

Відповідь: 3.

4. Метод логарифмування.

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння х^lgx = 100х.

Розв'язання

Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0) і одержимо

lg х^lgx = lg (100х); lg х lg х = lg 100 + lg x; lg² x - lg x - 2 = 0.

Замінимо lg x = у. Рівняння набуває вигляду:

y² - у - 2 = 0; y₁ = 2; y₂ = -1.

Тоді: 1) lgx = 2; x = 10²; x = 100.

2) lgx = -1; x = 10^-1 = 0,1.

Перевірка:

1) x^lgx = 100^lg100 = 100²; 100x = 100 ∙ 100= 100². Отже, x = 100 — корінь;

2) x^lgx =0,1^lg0,1 = 0,1^-1 =  1 = 10; 100x = 100 ∙ 0,1 = 10. Отже, x = 0,1 — корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

5. Графічний метод розв’язування логарифмічних рівнянь.

Приклад 8. Розв’яжіть рівняння lgх = 1 - х графічно.

Розв'язання

В одній і тій самій системі координат побудуємо графіки функції у= lgx і у = 1- x (рис. 3). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

Рис. 3

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

ІУ. Робота в малих групах.

Завдання для кожної групи:

І група:

1. _{ }

2. _{ }

ІІ група:

1. _{ }

2. _{ }

ІІІ група:

1. _{ }

2. _{ }

ІУ група:

1. _{ }

2. _{ }

Представлення своєї роботи кожною групою. Оцінювання.

У. Підсумок уроку.

УІ. Завдання додому.

Розв’яжіть рівняння:

1. Дано рівняння _{ }

1. Указати кількість коренів рівняння;

2. Знайти найбільший корінь рівняння.

2. Розв’язати рівняння _{ }. У відповідь записати найменший корінь рівняння.