УРОК 9

Тема уроку: Похідна складеної функції.

Мета уроку: Формування поняття складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити по­хідну складеної функції.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Учні перевіряють правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими до початку уроку.

№ 10

1) у' = (х¹⁰ + х⁵ + х)' = (х¹⁰)' + (х⁵)' + х = 10х⁹ + 5х⁴ +1;

3) y ' = (2x² + x – 5²)' = (2x²)' + ( x)' – (5²)' = 2(x²)' + x' – 0 = 4x + ;

5) у' = (х² sin x)' = (x²)' · sin x + x² (sin x)' = 2х sin x + x² cos x;

7) y' = ( + )' = ( )'+( )' = + 0 = .

2. Самостійна робота.

Варіант 1

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому зна­ченні аргументу х_о:

а) f(x) = , х_о = -1. (2 бали) б) f(x) = х cos x, х_о = π. (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції:

а) у = (x² - 1)(х³ + x). (2 бали) б) у = . (2 бали) в) у = + · (4 бали)

Варіант 2

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому зна­ченні аргументу х_о:

а) f(x) = , х_о = -1. (2 бали) б) f(x) = x·sin x, х_о = · (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції:

а) у = (х² + 1)(х³ - 1). (2 бали) б) у = · (2 бали) в) у = + · (4 бали)

Відповідь:

В-1. 1. а) - ; б) -1. 2. а) у'=5х⁴-1;

B-2.1.a) ; б)1. 2. а) у'=5х⁴+3х²-2х;

IV. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної.

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню χ зна­чення функції у, яка задана формулою у = .

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 – x², а потім за значенням u обчислити у = f(u) = .

!Отже, функція g ставить у відповідність числу x число u, а функ­ція f — числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функцій g і f, і пишуть у = f(g(x))·

Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміж­ною змінною, функцію f(u) — зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g(x)) в довільній точ­ці х, спочатку обчислюють значення й внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію у = . Вона є складеною із функцій u = cos х, у = , де cos x — внутрішня функція, — зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складені функції f(g(x)) і g(f(x)), якщо f(x) = sin х, g(x) = x².

Розв'язання

f(g(x)) = sin g(x) = sin x²;

g(f(x)) = (f(x))² = (sinx)² = sin² х.

Виконання вправ

1. Задайте формулами елементарні функції f і g, із яких побу­дована складена функція у = f(g(x)):

а) у = cos (2х + 3); б) у = (2x + 3)⁷; в) у = ; г) у = sin² x.

Відповіді: а) u = g(х) = 2х + 3; y = f(u) = cos u;

б) и = g(x) =2х+3; у = f(u) = u⁷;

в) u = g(x) =х² +2х; у = f(и) = ;

г) u = g(x) = sin x; у = f(u) = u².

2. Дано функції: f(x) = sin x; g(x) = ; h(x) = x⁵ + 1. Побудуйте функції:

а) у=f(g(x)); б) у=f(h(x)); в) у = g(f(x)); г) у = g(h(x)); д) у= h(f(х)); є) у = h(g(x)).

Відповіді: а) у = sin g(x) = sin ; б) y = sin h(x) = sin(x⁵ +1);

в) y = = ; г) y = = ;

д) у = f⁵(x) +1 = sin⁵ x +1; є) y = g⁵(x) +1 = ( )⁵ +1 =x² + 1.

У складеній функції у = f(g(x)) присутня проміжна змінна u=g(x). Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використову­ючи при цьому спеціальні позначення:

— похідна функції у по аргументу x;

— похідна функції у по аргументу u;

— похідна функції u по аргументу x.

Теорема. Похідна складеної функції у == f(g(x)) знаходиться за формулою

де u = g(x),

або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішній функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргу­менту.

Доведення

Будемо вважати, що функція u = g(x) має похідну в точці x_o, а функція у = f(u) має похідну в точці u_o = g(x_o), тобто існують границі , і

Δu = g(x_o + Δx) - g(x_o) 0.

Нехай аргументу x_o надано приросту Δx, тоді змінна u набуде приросту Δu 0. Поскільки g(x) одержала приріст Δu, то функція у також одержить приріст Δy = f(u + Δu) – f(u). Приріст Δx зумовив виникнення приросту Δu і Δy.

Подамо = · . Перейдемо до границі при Δx → 0 (при цьому Δu→0).

або

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3x³ – 1)⁵.

Розв'язання

у = (3х³ – 1)⁵ — складена функція у = u⁵, де u = 3x³ – 1, тоді y' = (u⁵)' · (3х³ – 1)’ = 5u⁴ · 9х = 5(3х³ -1)⁴ · 9х = 45х(3х³ – 1)⁴.

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов'язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³ – 1:

у' = ((3x³ – 1)⁵)' = 5(3х³ -1)⁴ · (3x³ – 1)' = 5 · (3x³ – 1)⁴ · 9x = 45x(3x³ – 1)⁴.

Приклад 2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = ; б) у = sin (3х + 5); в) у = cos²x; г) y = cos x².

Розв'язання

б) у' = (sin(3x + 5))' = cos (3х + 5) · (3x· + 5)' = 3 cos(3x + 5);

в) у = (cos² x)' = 2 cos x· (cos x)' = 2 cos x · (- sin x) = = -2 cos x sin x = - sin 2x;

г) y’ = (cos x²)' = - sin x² · (x²)' = -2x sin x².

Виконання вправ____________________________

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = (3х + 2)⁵⁰; б) у = (6 - 7х)¹⁰; в) у = ; г) у = .

Відповідь: а) у' = 150 · (3х + 2)⁴⁹; б) у' = -70 · (6 – 7x)⁹;