Тема: Застосування похідної до розв’язування задач

11 клас

Алгебра і початки аналізу

Тема: Застосування похідної до розв’язування задач

Мета: Узагальнити знання по темі «Похідна», систематизувати здобуті навики по

розв’язуванню задач, формувати логічне мислення, вміння аналізувати,

співставляти, вміння відповідати за своє прийняте рішення, підготовка до ЗНО.

Обладнання: проектор, комп’ютер, дошка, картки

Епіграф:

Вивчення математики подібне до Нілу, що починається

невеличкими струмками, а закінчується великою рікою.

Ч. К. Колтон

План уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Оголошення теми і мети уроку

ІІІ. Перевірка домашнього завдання

IV. Актуалізація опорних знань

Інтелектуальна розминка (підготовка до ЗНО)

Проводиться у виді гри. Учні по черзі відкривають ячейки (презентація до розминки) і отримують завдання, яке розв’язують. За правильно вказану відповідь отримують додатковий бал. Якщо відповідь неправильна, інший учень має можливість отримати бал.

Завдання, які пропонуються для інтелектуальної розминки.

1. Знайдіть похідну функції у = 3sin3x (9cos3x)

2. Знайдіть похідну функції у = (x³ – x²)⁴ 4(x³ – x²)³(3x² – 2x)

3. Геометричний зміст похідної. (Значення похідної функції в заданій точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до функції, проведеної в заданій точці)

4. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = х² + 5 в точці дотику х₀ = 2. (4)

5. Знайдіть похідну функції у = 2cos4xsin4x (8cos8x)

6. Знайдіть закон, за яким змінюється швидкість тіла, якщо шлях змінюється за законом ( v(t) = t³ – 6t²)

7. Знайдіть точки екстремуму функції, якщо на рисунку зображено графік похідної заданої функції.

(-4; -2; 2; 8)

8. Означення похідної функції в заданій точці. (Число, до якого границя відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля)

9. Знайдіть похідну функції

10. Назвіть проміжки зростання функції.

(-6; 2, 4; 6)

11. Скільки критичних точок має функція ? (Жодної)

12. Як називаються внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна дорівнює нулю або не існує? (Критичні)

13. Найменше значення, яке набуває функція . (2)

14. Продовжіть речення: Якщо на заданому проміжку, то функція є..

(Опукла вниз)

15. Назвіть точки максимуму функції у = f(x). (-1; 4)

16. Ознака точки мінімуму. (Якщо при переході через дану точку похідна функції змінює знак з плюса на мінус, то дана точка є точкою мінімуму)

17. Доведіть, що функція у = 4х³ + 5х зростає на всій області визначення.

()

18. Знайдіть похідну функції (0)

19. Найменше значення функції на 1; 2, якщо функція на заданому відрізку зростає. (11)

20. Фізичний зміст похідної. (Значення похідної функції в даній точці дорівнює значенню миттєвої швидкості тіла в даній точці)

21. Ознака спадання функції. (Якщо похідна функції на заданому проміжку набуває від’ємних значень, то функція спадає на цьому проміжку)

22.

23. Дотична до графіка функції має вид у = 20х + 5. Знайдіть значення похідної функції в точці дотику. (20)

24. Знайдіть похідну функції

25. Знайдіть вертикальні асимптоти функції (х = 2, х = ˗2 )

V. Робота в групах

1. Доведіть, що функція не набуває в точці х₀ ні найбільшого, ні найменшого значення, якщо

2. Знайдіть екстремуми функції

3. Із жерстяного листа, який має форму квадрата зі стороною 60 см, потрібно виготовити коробку без кришки, вирізавши в кутах однакові квадрати і зігнувши краї під прямим кутом. Якою має бути висота цієї коробки, щоб її об’єм був найбільший?

Захист робіт груп

(розв’язки заготовлені в презентації)

1. , .

2.

3.

VI. Побудова графіка

Дослідити функцію та побудувати її графік.

1. D(y): (˗; 2)  (2; +)

2. Знаходимо точки перетину з осями координат.

Функція нулів не має.

х = 0, у = -2,5. (0; -2,5)

3. Функція ні парна, ні непарна, не періодична.

4. Знаходимо похідну функції і досліджуємо її.

5. Знаходимо другу похідну, досліджуємо функцію на опуклість.

Точок перегину не існує. Якщо х > 2 функція опукла вниз,

якщо х  2, функція опукла вгору.

6. Асимптоти

Вертикальні: х = 2.

Похилі:

VII. Підсумок уроку

• Що вам сподобалося на уроці?

• Які вправи ви розв’язували легко?

• Які завдання викликають труднощі?

• Над чим треба ще попрацювати?

Проводимо оцінювання учнів, враховуючи роботу на всіх етапах уроку.

VIII. Домашнє завдання

Повторити параграф 11-12, № 406, 413.

Література

1. Гальперіна А. P. Алгебра і початки аналізу. 10 клас. Профільний рівень: Збірник завдань для контролю знань / А. Р. Гальперіна, І. О. Золотарьова. — X.: Вид-во «Ранок», 2010. — 176 с.

2. Математика : 11 кл. : підруч. для загальноосвіт. навч. закл. : рівень стандарту / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К. : Генеза, 2011. – 320 с. : іл.. – Бібліогр. : с. 294