Тема: «Применение нескольких способов разложения на множители».

Тема: «Применение нескольких способов разложения на множители».

Место урока: Заключительный урок по теме «Применение формул сокращенного умножения».

Тип урока: обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

1. Образовательные:

• Систематизация и обобщение знаний по теме «Применение формул сокращенного умножения»;

2. Развивающие:

• Развивать у учащихся умения анализировать, обобщать, делать выводы;

• Развивать интерес к предмету;

• Развивать грамотную математическую речь;

• Развивать слуховую и зрительную память;

3. Воспитательные:

• Воспитывать умение объективно оценивать свой труд и труд своих товарищей;

• Воспитывать доброжелательное отношение друг к другу и к учителю.

Ход урока:

1. Организационный момент (1 минута)

Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь!

2. Проверка домашнего задания (3 минуты)

Проверить наличие сделанного домашнего задания и ответить на вопросы, которые возникли у учеников.

Решение

• Упражнение 803.

а) х³у² – ху⁴ = ху²(х² – у²) = ху²(х – у)(х + у);

б) 9a⁵c – a³с² = a³c(9a² – c²) = a³c(3a –c)(3a + c);

в) 25a⁴ – x²у⁴ = (5a²)² – (ху²)² = (5а² – xу²)(5а² + ху²);

г) 0,25х² – х⁴у⁴ = (0,5x)² – (х²у²)² = (0,5x – х²у²)(0,5х + х²у²) =

= х²(0,5 – ху²)(0,5 + ху²);

ґ) 0,08а⁴ – 0,32а² = 0,08а²(а² – 4) = 0,08а²(а – 2)(а + 2);

д) - 8 + 2x⁴ = 2(х⁴ – 4) = 2(x² – 2)(x² + 2).

• Упражнение 804.

а) х – 2х³ = x(1 – 16x²) = x(1 – 4x)(1 + 4x);

б) a⁴ – a²x⁴ = a²(16a² – 9x⁴) = а²(4а – 3х²)(4а + 3x²);

в) -2х⁶ – х²у⁴ = -x^2.

• Упражнение 808.

а) ac² + bc – bc² – ac = (ас² – ас) – (bc² – bc) = ac(c – 1) – bc(c – 1) =

= c(c – 1)(a – b);

б) a²b + 3а + 3ab + а² = (а²b + а²) + (3а + 3аb) = a²(b + 1) + 3a(1 + b) =

= a(1 + b)(a + 3);

в) ах – а² + ах² – а³ – а(х – а) + а(х² – а²) = а(х – а) + а(х – а)(х + а) =

= а(х – а)(1 + х + а);

г) a³ – ab² – a² – ab – a(a² – b²) – a(a + b) = а(а + b)(а – b) – а(а + b) =

= a(a + b)(a – b – 1).

• Упражнение 810.

а) ac + bс – 2с – асх – bсх + 2сх = с(а + b – 2) – сх(а + b – 2) =

= (а + b – 2) · с(1 – х);

б) х³ + 2х² – асх – 2сx – сх² + ах² = (х³ + 2х² + ах²) – (асх + 2сх + сх²) =

= x²(x + 2 + а) – сx(а + 2 + x) = x(а + 2 + x)(х – с).

• Упражнение 813.

а) а² + b² + 2а + 2b + 2 = (а² + 2а + 1) + (b² + 2b + 1) = (а + 1)² + (b + 1)²;

б) x⁴+ y⁴ + 4x² + 4y² + 8 = (x⁴ + 4x² + 4) + (y⁴ + 4y² + 4) = (x² + 2)² + (y² + 2)²;

в) 2х² + 4х + 2 = 2(х² + 2x + 1) = 2(x + 1)² = (x + 1)² + (x + 1)²;

г) 2х² + 2х + 1 = х² + (х² + 2х + 1) = х² + (х + 1)² .

• Упражнение 817.

а) Поскольку 6х – х² – 10 = -(х² – 6х + 10) = -(х² – 6х + 1 + 9) = -((х – 3)² + 1), то -((х – 3)² + 1) < 0.

б) Поскольку х – х² – 1 = -(х² – х + 1) = - (х² – х + 0,25 + 0,75) =

= -((x – 0,5)² + 0,75), то -((х – 0,5)² + 0,75) < 0.

в) Поскольку 2x – х² – 2 = - (х² – 2х + 2) = -(х² – 2х + 1 + 1) = -((x – 1)² + 1),

то -((х – 0,5)² + 1) < 0.

• Упражнение 819.

а) Если х = -4, то х(x + 3)² + (5 + x)³ = -4 · (-4 + 3)² + (5 – 4)³ = -4(-1)² + 1³ =

= - 4 + 1 = -3.

б) Если а = -0,5, то (а – 3)⁴ – (4 + а)⁴ = ((а – 3)² – (4 + а)²)((а – 3)² + (4 + а)²) =

= (а² – 6а + 9 – 16 – 8а – а²)(а² – 6а + 9 + 16 + 8а + а²) =

= (-14а – 7)(2а² + 2а + 25) = (-14 · (-0, 5) – 7)(2 · (-0, 5)² + 2 · (-0, 5) + 25) = = 0 (0,5-1 + 25) = 0.

в) Если с = 2,53, то (с + 3)² – 2(с + 2)(с – 2) + (с – 2)² = ((с + 3) – (с – 2))² = = (с + 3 – с + 2)² = 5² = 25.

г) Если z = 3,75, то (2z + 1)² – 4z(2z + 1) + 4z² = ((2z + 1) – 2z)² =

= (2z + 1 – 2z) = 1² = 1.

• Упражнение 822.

а) 5⁵ – 5⁴ + 5³ = 5³(5² – 5 + 1) = 5³ · (25 – 5 + 1) = 5³ · 21 — делится на 21.

б) 957² – 43² = (957 – 43)(957 + 43) = 914 · 1000 — делится на 1000.

• Упражнение 824.

(2n + 1)² – (2k + 1)² = (2n + 1 – 2k – 1)(2n + 1 + 2k + 1) =

= (2п – 2k)(2n + 2k + 2) = 2(n – k) – 2(n + b + 1) = 4(п – k)(n + k + 1) — делится на 4.

• Упражнение 828.

Поскольку (а + 1)(а + 2) = а² + 2а + а + 2 = а² + 3а + 2, то тождество доказано.

• Упражнение 834.

а) х³ + 2х² – х = 2; х²(х + 2) – х – 2 = 0; х²(х + 2) – (х + 2) = 0;

(х + 2)(х² – 1) = 0; (х + 2)(х – 1)(х + 1) = 0;

х + 2 = 0, або х – 1 = 0, або х + 1 = 0; х = -2 , або х = 1, або х = -1.

Ответ: -2; 1; -1.

б) y³ – 3y² + 4y = 12; (y³ – 3y²) + (4y – 12) = 0; у²(у – 3) + 4(у – 3) = 0;

(у – 3)(у² + 4) = 0; у – 3 = 0 (Поскольку у² + 4 > 0); у = 3. Ответ: 3.

в) 2х³ – 3х² + 4х = 6; 2х³ – 3x² + 4х – 6 = 0; х²(2х – 3) + 2(2х – 3) = 0;

(2х – 3)(х² + 2) = 0; 2х – 3 = 0 (Поскольку х² + 2 > 0 ); х = 1,5. Ответ: 1,5.

г) 0,5z⁵ + z⁴ + z + 2 = 0; 0,5z⁴(z + 2) + (z + 2) = 0; (z + 2)(0,5z⁴ + 1) = 0;

z + 2 = 0 (Поскольку 0,5z⁴ + 1 > 0); z = -2 . Ответ: -2.

• Упражнение 837.

а) 8а³ – 4а² + 2а – 1 = 0; 4а²(2а – 1) + (2а – 1) = 0; (2а – 1)(4а² + 1) = 0;

2a – 1 = 0 (Поскольку 4а² + 1 > 0); а = 0,5. Ответ: при а = 0,5.

б) 8а³ – 4а² + 2а – 1 = 4а² + 1; 4а²(2а – 1) + (2а – 1) – (4а² + 1) = 0;

(2а – 1)(4а² + 1) – (4а² + 1) = 0; (4а² + 1)(2а – 1 – 1) = 0;

(4а² + 1)(2а – 2) = 0; 2а – 2 = 0 (Поскольку 4а² + 1 > 0); а = 1.

Ответ: при а = 1.

• Упражнение 841.

а) х²(9х² – 6х + 1) = (6х)² – 24х + 4; х²(9x² – 6х + 1) = 4(9х² – 6х + 1);

(9х² – 6х + 1)(х² – 4) = 0; (3х – 1)²(x – 2)(х + 2) = 0;

3х – 1 = 0, або х – 2 = 0, або х + 2 = 0; х = , або х = 2, або х = -2. Ответ: ; 2; -2.

б) 4х⁴ + 56х³ + 196х² = х² + 14х + 49; 4х²(х² + 14х + 49) = х² + 14х + 49;

(x² + 14x + 49)(4x² – 1) = 0; (x + 7)²(2x – 1)(2x + 1) = 0;

x + 7 = 0, або 2x – 1 = 0, або 2x + 1 = 0; x = -7, або x = 0,5, або x = -0,5. Ответ. -7; 0,5; -0,5.

3. Сообщение темы урока, постановка целей и задач (1 минута)

(Слайд 1) Сегодня у нас урок обобщения и повторения знаний по теме «Применение формул сокращенного умножения». Мы повторим все способы разложения многочлена на множители, рассмотрим задания, где необходимо их использовать, подготовимся к контрольной работе.

4. Актуализация опорных знаний (10 минут)

(Слайд 2) 1. Сколько способов разложения многочлена на множители мы знаем и какие?

(Слайд 2, клик 1) 1) вынесение общего множителя за скобку;

(Слайд 2, клик 2) 2) группировки;

(Слайд 2, клик 3) 3) формулы сокращенного умножения.

(Слайд 3) 2. Назовите формулы сокращенного умножения:

1)

(Слайд 3, клик 1) квадрат суммы

2)

(Слайд 3, клик 2) квадрат разности

3)

(Слайд 3, клик 3) разность квадратов

4)

(Слайд 3, клик 4) сумма кубов

5)

(Слайд 3, клик 5) разность кубов

(Слайд 4) 3. Правило-ориентир

(Слайд 4, клик 1) 1) выносим общий множитель за скобку, если он есть;

(Слайд 4, клик 2) 2 ) пробуем разложить многочлен по формулам сокращенного умножения;

(Слайд 4, клик 3) 3) применяем способ группировки.

5. Обобщение и систематизация знаний (25 минут)

(Слайд 5) 1. Выполнение тестового задания (8 минут)

Возьмите тест. Подпишите его. Вы будите выполнять задания данного теста в течении 5 минут. Всего три задания: сравнить, заполнить пропуски и вычислить. Каждое по 4 балла. Тест выполняется учениками в тетради. В классе, после выполнения заданий, правильность выполнения проверяется по ответам с взаимопроверкой.

Тест «Применение нескольких способов разложения многочленов на множители»

(Слайд 6) Взаимопроверка теста: ученики обмениваются тетрадями и проверяют правильность выполнения теста, сверяясь с доской

2. Решение типичных упражнений письменно у доски (17 минут)

Детям раздаются опорные конспекты.

Опорный конспект

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ:

ПРАВИЛО-ОРИЕНТИР РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

1) выносим общий множитель за скобку;

2) пробуем разложить многочлен по формулам сокращенного умножения;

3) применяем способ группировки и повторяем пункты 1-2.

Пример: Разложить на множители многочлен

(Слайд 7) № 1. Разложите на множители многочлен:

а)

б)

в)

г)

Решение

а) (Слайд 7, клик 1)

б) (Слайд 7, клик 2)

в) (Слайд 7, клик 3)

г) (Слайд 7, клик 4)

(Слайд 8) № 2. Решите уравнения:

а) ; б)

в) . г)

Решение

(Слайд 8, клик 1) (Слайд 8, клик 2) (Слайд 8, клик 3) (Слайд 8, клик 4)

(Слайд 9) № 3. Найдите значение выражения при р=0,897

(Слайд 9, клик 1, 2, 3) Решение.

№ 4. Докажите, что 973+783+972-782 делится на 175.

(Слайд 9, клик 4) 97³+78³+97²-78²=(97+78)(97²+97*78+78²)+(97+78)(97-78)=175(97²+97*78+78²+97-78)

(Слайд 10) 6. Подведение итогов. (2 минуты)

Подошел к концу наш урок.

Какие способы разложения многочлена на множители мы использовали на уроке?

Какие формулы сокращенного умножения мы сегодня вспомнили?

Учитель собирает тетради для проверки теста и качества выполнения домашнего задания

(Слайд 11) 7. Домашнее задание (3 минуты)

1. Подготовиться к контрольной работе по теме: «Применение формул сокращенного умножения»

2. Решить задания вариантов 3 и 4 рубрики «Задания для самостоятельной работы» (стр. 172 учебника)