Тема. Две дюжины задач на прогрессии

Опис документу:
Цели : - образовательная: обобщить и систематизировать знания о прогрессиях; закрепить и усовершенствовать навыки решения задач с использованием характеристических свойств прогрессий; - развивающая: развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности; сообразительность, стремление к преодолению трудностей;

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Факультативное занятие по математике для учащихся 9-11 классов.

Тема. Две дюжины задач на прогрессии.

Цели : - образовательная: обобщить и систематизировать знания о прогрессиях; закрепить и усовершенствовать навыки решения задач с использованием характеристических свойств прогрессий;

- развивающая: развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности; сообразительность, стремление к преодолению трудностей;

- воспитательная: воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы.

Ход занятия.

І.Организационный момент.

Кто ничего не изучает,

Тот ничего не замечает.

Кто ничего не замечает,

Тот вечно хнычет и скучает.

Р.Сеф.

ІІ.Мотивация.

Для успешного решения задач на прогрессии нужно хорошо знать определения арифметической, геометрической т бесконечно убывающей геометрической прогрессий, формулу общего члена для каждой из этих прогрессий, формулы суммы n членов прогрессий, а также определений и формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Кроме того, очень часто в задачах на прогрессии приходится использовать так называемые характеристические свойства прогрессий.

ІІІ. Систематизация и усовершенствование знаний.

  1. Фронтальная беседа по таблице.

Прогресії

Арифметична

Геометрична

Рекурентна

формула

an + l = an + d, n  N

bn + 1= bnq, n  N

b1 0, q 0

Формула

n-го члена

аn = a1 + (n 1)d

bn = b1gn-1

Характеристична властивість

b2n = bn-1bn+1

Формула суми

п перших членів

Sn = nb1, q=1

Інші формули

а1 + аn = а2 + аn1 =

= ... = ak + ank+1

b1bn = b2bn–1 = … =

= bkbn–k + 1

Нескінченна спадна геометрична прогресія (| q| < 1)

  1. Решение упражнений. Заполни таблицу.

a1

d

ап

п

Sn

1

1

19

10

2

5

-2

7

3

15

6

60

4

3

-18

-60

5

1

3

28

b1

q

bп

п

Sn

1

1

2

5

2

32

2

3

3

81

5

4

6

96

5

5

1

2

15

  1. Характеристические свойства прогрессий.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность а1,а2, ..., аn, ... является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому своих соседних.

Доказательство. Дана последовательность а1, а2, ..., ап, ... Пусть она является арифметической прогрессией. Докажем, что

В самом деле, ak+1 - ak = аk+2 аk+1, откуда

Пусть теперь . Тогда ak+1 - ak = ak+1 - ak+1, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности постоянна для данной последовательности, а это и означает, что а1, a2, ... ...,ап, ... — арифметическая прогрессия.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Последовательность b1 ,b2 ..., bn, ... является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности) равен произведению своих соседних (то есть b2k+l=bk · bk+2).

Доказательство. Пусть последовательность b1 ,b2 , ..., bn , ...

является геометрической прогрессией. Тогда, , откуда b2k+1 = bk · bk+2 что и требовалось доказать.

Пусть, наоборот, b2k+1 = bk · bk+2. Тогда , то есть отношение последующего члена последовательности к предыдущему постоянно для данной последовательности, а это и означает, что b1 ,b2 ..., bn, ... - геометрическая прогрессия.

4.Решение задач на применение характеристических свойств.

Арифметическая прогрессия

Задача 1. Доказать, что .

Решение. . Аналогично

.

Поэтому

.

Задача 2. Последовательность и1, и2, ..., ип, ... обладает тем свойством, что сумма Sn первых ее п членов равна 2n2+3n. Доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, заключаем, что нам достаточно доказать следующее соотношение: 2uk+1 = uk + uk+2, где k = 1, 2, 3, ...

Замечаем, что uk+1 = Sk+1 Sk. В самом деле,

Sk+1 Sk = (u1 + u2 + . . . + uk + uk+1) — (ul + u2+ … +uk) = uk+1

Значит,

uk+l = 2(k+1)2 + 3(k+1) (2k2+3k) = 4k+5.

Аналогично uk=Sk - Sk-1 (в частности, полагаем S0=0), откуда uk = (2k2+3k) - -[2(k - 1)2+3(k - 1)]=4k+1 и, наконец, uk+2=Sk+2 - Sk+1=4k+9. Поскольку для чисел uk=4k+1, uk+1=4k+5, uk+2=4k+9 соотношение 2uk+1=uk + uk+2 выполняется, то доказательство того, что u1, и2, ..., ип ,... - арифметическая прогрессия, закончено.

Задача 3. Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо соотношение

Решение. Использовав для Sn известную формулу

и аналогичные формулы для Sm и Sp, приведем левую часть доказываемого равенства к виду

.

Применив к ап формулу общего члена арифметической прогрессии ап=a1+d(n-1) и сделав то же самое для ат, ар, получим

.

и далее

Поскольку суммы в обеих квадратных скобках равны 0, то и все выражение равно 0, что и требовалось доказать.

Задача 4. Найти трехзначное число, которое делится на 45 и цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

Решение. Пусть х цифра сотен, у цифра десятков и z цифра единиц искомого числа. Так как по условию х, у, z арифметическая прогрессия, то

2у = х+z. (1)

Искомое число имеет вид 100 х + 10y + z. Так как по условию оно делится на 45, то

100x + 10y + z = 45р. (2)

Итак, искомое число определяется условиями (1) и (2).

Для цифры единиц имеются две возможности: либо z = 0, либо z = 5 (это вытекает из делимости искомого числа на 5). Рассмотрим случай z = 0. Тогда из (1) получаем х = 2у, а из (2) 100x + 10y = 45р, или 20x + 2y = 9р, 20х + х=9р или 7x = 3р. Это означает, что х делится на 3. Так как, кроме того, х - число четное (x=2y), то заключаем, что для х имеется единственная возможность: х=6. Тогда y=3, а искомое число равно 630.

Рассмотрим теперь второй случай: z=5. В этом случае условия (1) и (2) принимают соответственно следующий вид:

2у = х + 5; 100х + 10y + 5 = 45р.

Последнее равенство преобразуем к виду 20x + 2y + 1 = 9р и далее, с учетом равенства 2у=х + 5, получаем 21x + 6 = 9р, или + 2 = 3р. Последнее равенство возможно при х=1, 4, 7. Но поскольку х + 5 — четное число + 5=2у), то для х остаются лишь две возможности: х = 1, х = 7. В первом случае y = 3, во втором случае y = 6. Искомое число соответственно в первом случае равно 135, во втором 765. Итак, условию задачи удовлетворяют три числа: 135, 630, 765.

Геометрическая прогрессия

Задача 5. Вычислить сумму .

Решение. 2+22+222+ ... +22 ... 2 = 2[1+(1+10) + (1 + 10+102)+ ...+(1+10+102+ ... +10n-1)] = =2[S1+S2+S3+ ... +Sn],

где Sk - сумма k членов геометрической прогрессии 1, 10, 102, 103, ... (k=l, 2, ..., n). Применив формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим

Задача 6. Доказать, что последовательность u1, и2, и3, где

является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда

.

Решение. На основании характеристического свойства геометрической прогрессии заключаем, что задача сводится к решению уравнения

(3)

Выполним последовательные преобразования этого уравнения:

,

tg х=4 sin2 х, sin х (2 sin 2 х - 1)=0 (cos х 0).

Таким образом, должно выполняться одно из двух уравнений:

откуда

Полученные серии и только они удовлетворяют уравнению (3). Следовательно, при полученных значениях х и только при них и1, и2, и3 — геометрическая прогрессия.

Задача 7. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами одной геометрической прогрессии?

Решение. Предположим, что заданные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q. Тогда 10 = b1qn, 11=b1qm, 12=b1qp. Из этих соотношений получаем

и далее

Последнее равенство не может выполняться ни при каких попарно различных натуральных п, m, p. Это значит, что числа 10, 11, 12 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

Задача 8. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. Используя формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим

Рассмотрим последовательность . Замечаем, что это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем q2. Тогда сумма членов этой прогрессии определяется формулой и равна 40,5.

В итоге задача сводится к решению системы

Из этой системы получаем: .

Смешанные задачи на прогрессии

Задача 9. Найти четыре числа, если известно, что первые три из них образуют геометрическую прогрессию, последние три арифметическую прогрессию, сумма крайних чисел равна 21, сумма средних — 18.

Решение. Пусть а, b, с, d искомые числа; а, b, с геометрическая прогрессия, значит, b2=ас; b, с, d арифметическая прогрессия, значит, 2c=b+d. В итоге приходим к следующей системе уравнений:

Решив эту систему, получим а=3, b=6, c=12, d=l8 или

ІV. Подведение итогов.

V. Домашнее задание.

1) сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти десятый член прогрессии.

2) найти трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего на 400, - арифметическую.

3) четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если их уменьшить соответственно на 2,1,7, 27, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Організація ефективної діяльності практичного психолога в закладі освіти»
Мельничук Вікторія Олексіївна
36 годин
590 грн