Розробка системи уроків з теми "Тригонометричні рівняння, які відрізняються від найпростіших”

Опис документу:
( в розробці показано компетентнісний підхід до проведення уроків математики з використанням технології розвитку критичного мислення, як засобу до формування ключових компетентностей учнів, методу Едвардо де Боно або методу різнокольорових капелюхів та мультимедійних презентацій, спрямованих на розвиток особистості)

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Розробка системи уроків з теми "Тригонометричні рівняння, які відрізняються від найпростіших”

( в розробці показано компетентнісний підхід до проведення уроків математики з використанням технології розвитку критичного мислення, як засобу до формування ключових компетентностей учнів, методу Едвардо де Боно або методу різнокольорових капелюхів та мультимедійних презентацій, спрямованих на розвиток особистості)

Вчитель:Терентій О.О.

2013

Тригонометричні рівняння, які відрізняються від найпростіших

1.Рівняння, які зводяться до квадратних відносно тригонометричних функцій ( вводиться заміна sinx=y).

2.Однорідні рівняння: а) а sinx + b cosx = 0 – I степеня (ділимо на cosx, де cosx не дорівнює нулю);

б) а sinx+b sinx cosx+ c cosx = 0 –II степеня ( ділимо на cosx або sinx, які не дорівнюють нулю );

( до однорідного можна звести рівняння , що має вигляд

а sinx + b sinx cosx + c cosx = k, замінивши k так:

k = k∙1 = k∙( sinx + cosx) = 1, де sinx + cosx = 1.

3.Рівняння, які розвязуються розкладанням на множники

( винесення спільного множника за дужки, спосіб групування, формули скороченого множення, тригонометричні формули).

4.Дробово−раціональні рівняння відносно тригонометричних функцій (використовується умова рівності дробу нулю: дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля, тобто

=0 ó f(x)=0, g(x)≠0.

5.Рівняння, які мають вигляд a sinx + b cosx = c ( різні способи розв’язання: a) ділимо на ≥с;

б) використовуємо формули подвійного аргументу ).

6.Рівняння, які розвязуються штучними способами.

Алгоритм розв’язування тригонометричних рівнянь, які відрізняються від найпростіших

1.Намагаємося звести всі функції до одного аргументу.

2.Якщо 1) вдалося, то пробуємо звести до однієї тригонометричної функції.

3.Якщо 1) вдалося, а 2) − ні, то намагаємося звести рівняння до однорідного.

4.В інших випадках переносимо всі члени в ліву частину рівняння і розкладаємо на множники.

5.В складніших випадках використовуємо спеціальні прийоми розвязування, штучні способи.

Бажаю успіху у засвоєнні теми!

Тема. Розв’язування тригонометричних рівнянь, які відрізняються від найпростіших.

Дидактична мета: вироблення в учнів навичок і вмінь розв’язувати тригонометричні рівняння, які зводяться до квадратних відносно тригонометричних функцій, однорідних рівнянь, що розв’язуються розкладанням на множники, дробово-раціональних рівнянь відносно тригонометричних функцій, рівнянь виду asinx+bcosxта рівнянь, що розв’язуються штучними методами.

Розвиваюча мета: цілеспрямоване формування в учнів основних прийомів розумової діяльності: порівняння, аналізу, синтезу, абстрагування, аналогії; добиватися того, щоб учні розуміли суть, структуру, значення прийомів; розвиток пізнавального інтересу, уміння використовувати сформовані знання, навички і уміння в нових складних ситуаціях.

Виховна мета: виховання працьовитості, прищеплювання бажання мати якісні глибокі знання, виховування відповідальності та вимогливості до себе.

Вміння критичного мислення: сприяти розвитку полікультурних, інформаційних, соціальних компетенцій; чітко формулювати власну думку, спираючись на виважені знання, цінувати час; розвивати вміння працювати в групі.

Використання стратегій критичного мислення: інтерактивні вправи “Мікрофон”, “Запитання - відповідь”, ”Розмірковуючи - навчаюсь”, ”Коло вільних думок”,

Обери позицію, робота в парах, групах.

Засоби і обладнання: таблиці, картки-реклами, картки-завдання, картки-алгоритми, картки само оцінювання, тести для самостійних робіт, мультимедійна презентація.

Урок№1

Тема уроку. Розв’язування тригонометричних рівнянь, які зводяться до квадратних та однорідних рівнянь І і ІІ степеня.

Дидактична мета: вироблення в учнів навичок і вмінь розв’язувати тригонометричні рівняння, які зводяться до квадратних відносно тригонометричних функцій та однорідних тригонометричних рівнянь І і ІІ степеня та тих, що зводяться до них.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Обладнання уроку: таблиця ”Тригонометричні рівняння, які відрізняються найпростіших”, яка містить алгоритм розв’язування тригонометричних рівнянь, картки−таблиці для кожного учня, крейда, дошка, магніти, диски з мультимедійними презентаціями.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання та актуалізація опорних знань учнів.

(напередодні учні отримали запитання та завдання для домашньої роботи).

Інтерактивна вправа Запитання відповідь (використання мультимедійної дошки).

1. Знайти значення виразу: arcsin0, arcsin(), arccos().

2. В якому випадку найпростіші тригонометричні рівняння не мають розв’язків? (навести приклади)

3. Як можна розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння виду sinx=-1;0;1 , використовуючи одиничне коло?

4. Чи може синус і косинус одного й того самого аргументу одночасно дорівнювати нулю?

5. Чи може у рівняннях виду а) a sinx+b cosx=0;

б) a sin2x+ b sinx cosx+c cos2x=0 cosx або sinx дорівнювати нулю?

6. Як розв’язати рівняння: а) x2+2x-3=0;

б) (x2+4)2+2(x2+4)-3=0 ( пояснити хід розвязання )

7. Як звести до одного аргументу і однієї функції

а) cos2x+sinx; б) cos2x+4sinx

(Відповіді на запитання 1-7 перевіряються усно, а завдання 6(б) і 7 учні виконують на дошці або розв’язання висвітлюється на мультимедійній дошці).

ІІ. Мотивація навчання. Презентація теми уроку.

Учитель:

На практиці часто зустрічаються складні тригонометричні рівняння, які містять у собі тригонометричні функції. Більшість із них зводяться до найпростіших шляхом тотожних перетворень. Серед них є й такі, які зводяться до розв’язування квадратних рівнянь відносно тригонометричних функцій, до однорідних і т.д.

Але яким би складним не було тригонометричне рівняння, розв’язати ми його зможемо лише за умови дотримання певних правил, вказівок, рекомендацій. Такі “підказки“ ви знайдете в таблиці ”Тригонометричні рівняння, які відрізняються від найпростіших”, яка містить в собі опис видів рівнянь та алгоритм їх розв’язування, а саме:

а) звести тригонометричні функції до одного аргументу;

б) звести тригонометричне рівняння до однієї функції, а якщо це не вдається, то звести до однорідного;

в) в інших випадках переносимо всі члени в ліву частину і намагаємося розкласти на множники;

г) в складніших ситуаціях використовуємо штучні способи розв’язання.

Епіграф до уроку

Уміння розв’язувати задачі - таке ж практичне мистецтво, як і вміння плавати, бігати чи танцювати. Цього можна навчитися тільки шляхом наслідування і тренування”. Д.Пойя

Повідомляю тему і дидактичну мету уроку і запитую в учнів, яких результатів очікують вони від уроку.

Інтерактивна вправа Мікрофон

Починати свою відповідь , як завжди, можна словами:

-цей урок познайомить мене…

-я очікую від цього уроку…

-цей урок навчить мене…

-цей урок допоможе мені…

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Приклад 1. Розв’язати рівняння 2+cos2x=2sinx

Розв’язання

Вчитель: Чи однакові аргументи у рівнянні? ( Учні:так)

Вчитель: Чи потрібно зводити рівняння до однієї функції? Якщо так, то яким чином це зробити?( Учні: так. Замінити cos2x на 1-sin2x і отримати рівняння відносно синуса )

(зразок розв’язання показується на мультимедійній дошці)

2+(1-sin2x)-2sinx=0 ,

- sin2x-2sinx+3=0, ∙(-1)

sin2x+2sinx-3=0.

Ввели заміну: sinx=y, де │у│≤ 1, тоді sin2x=y2, а рівняння звелося до квадратного

y2+2y-3=0, або (y+3)(y-1)=0,

звідки y1=-3, y2=1

Повертаючись до заміни, отримаємо:

sinx=-3 і sinx=1

Перше рівняння розв’язків не має, оскільки |sinx|≤1. Друге рівняння можна розв’язати, використовуючи одиничне коло та означення синуса в ньому

Відповідь: +2n, nє Z

Приклад 2. Розв’язати рівняння cos2x + sinx = 0

(колективне розв’язування по типу ”Мікрофон”)

Розв’язання

Учні звертають увагу на те, що в даному рівнянні є різні функції з різними аргументами. Пробуємо зробити так, щоб утворилися однакові аргументи. Діти мають запропонувати формулу cos2x=cos2x-sin2x.

Далі потрібно здійснити такі перетворення, щоб у рівняння входила одна і та сама функція одного й того самого аргументу. Для цього, очевидно, треба виразити cos2x через sin2x:

cos2x+sinx=0,

cos2x -sin2x+ sinx=0,

1-sin2x-sin2x+ sinx=0,

-2 sin2x+ sinx+1=0 , ∙(-1)

2 sin2x-sinx-1=0.

Вводимо заміну sinx=y, де │у│≤ 1 тоді sin2x=y2 і отримуємо рівняння:

2y2 y -1=0,

D=1-4∙2(-1)=9,

y1==-; y2==1.

Оскільки sinx=y, то маємо два рівняння:

sinx= - і sinx2=1, звідки

x1=(-1)narcsin(-)+n=(-1)n(-)+n=(-1)n+1+n, nєZ;

x2=+2m, mєZ.

Відповідь: +2m, mєZ ; (-1)n+1+n, nєZ

Приклад 3. Розв’язати рівняння sin2x+2cosx+2=0

(самостійне розв’язання: 2 учні розв’язують на відкидних полях дошки, після цього клас перевіряє правильність розв’язання)

Розвязання

sin2x+2cosx+2=0,

1-cos2x+2cosx+2=0,

-cos2x+2cosx+3=0, ∙(-1)

cos2x-2cosx-3=0.

Заміна: cosx=y ,де у│≤ 1,

y2-2y-3=0 або (y-3)(y+1)=0, звідки y1=3, y2=-1

Тоді сosx=3 і cosx=-1

Рівняння сosx=3 розв’язків не має, оскільки |cosx|1, а розв’язок рівняння cosx=-1: x=n, nєZ

Відповідь: n, nєZ

Приклад 4. sin2x-2sin4x+sin2x=0

Зведемо його до одного аргументу( Учні мають запропонувати замінити sin4x на 2sin2xcos2x ).

Тоді отримаємо:

sin22x-4sin2xcos2x+sin2x=0

Це рівняння типу (учні знаходять на таблиці)

a sin2x+ b sinxcosx+ c cos2x = 0. Таке рівняння називається однорідним ІІ степеня (оскільки сума показників кожного доданку дорівнює двом). Поділивши обидві частини рівняння на cos22x, де cos22x≠0 (в цьому ми переконалися під час перевірки домашнього завдання (5б)), отримаємо квадратне рівняння відносно тангенса

Введемо заміну: tq2x=y, де уєR, тоді tq22x=y2 і отримаємо рівняння ( учні закінчують розв’язання самостійно, а один з учнів закінчує розв’язувати рівняння на дошці).

D=,

у1=,

y2=.

Отже, у1=, y2=.

Маємо два рівняння:

і , звідки

, nєZ; , mєZ;

, nєZ; , mєZ;

, nєZ; , mєZ;

Відповідь: , nєZ; , mєZ.

Вчитель: Аналогічним способом пропоную вам розв’язати рівняння, яке не зводиться до квадратного, але є однорідним I степеня 3 sin x + 4 cos x = 0 (учні знаходять на таблиці рівняння asinx+bcosx=0 і звертають увагу на підказку: ділимо на cosx, де cosx≠0)

3 sin x + 4 cos x = 0

Розв’язання

,

,

,

,

, nєZ;

, nєZ.

Відповідь: , nєZ.

IV. Рефлексія. Підсумок уроку.

Учитель. Настав час повернутися до поставленої мети.

-Чи досягли ми очікуваних результатів?

-Про що нове ви дізналися на уроці?

-Що нового ви навчилися на уроці?

Метод Мікрофон ( учні роблять підсумок уроку )

Ознайомились і закріпили уміння розв’язувати тригонометричні рівняння, які зводяться до квадратних та навчилися розв’язувати однорідні рівняння І та ІІ степенів,…

V. Домашнє завдання:

Письмово: с.335 §25(п.25.1, 25.2, 25.3), с.345 №1(1), №3(1),№9(2)

Додаткове завдання:

Урок №2

Тема уроку. ТригонометричнІ рівняння, які розв’язуються розкладанням на множники.

Дидактична мета: вироблення в учнів вмінь та навичок розв’язувати тригонометричні рівняння способом розкладання на множники.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Використання стратегій критичного мислення:

вправа “Мозкова атака”, інтерактивні вправи “Мікрофон”, “Коло вільних думок “.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

(презентація на мультимедійній дошці, підготовлена учнями)

1(1)

Заміна: , де тоді отримуємо рівняння

,

,

, оскільки то маємо 2 рівняння

, звідки і

озв’язків немає, оскільки )

Відповідь: .

3(1)

Замінимо на :

,

, ∙(-1)

,

Введемо заміну: , ()

тоді .

Отримуємо рівняння ,

Д=9-4∙2∙(-2)=9+16=25, .

Оскільки , то маємо два рівняння:

і -( це рівняння розв’язків не має).

Маємо: , є ;, є ;

, є .

Відповідь: , є

9(2)

Замінимо 1 на і одержимо рівняння .

Поділимо обидві частини його на , де і отримаємо:

. Заміна: ,

,

,

, ,

і ,

, є ;

є ;

є .

Відповідь: , є ; є .

Додаткове завдання:

розкладемо за формулою

і замінимо на :

,

,

,

,

,

Д=4+4=8,

, ,

і ,

, є ;

, є .

Відповідь: , є ; , є

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

Повторюємо відому необхідну і достатню умову рівності нулю добутку двох виразів, тригонометричні формули, які перетворюють суму і різницю тригонометричних функцій у добуток і т.д. (табл.).

Вправа “ Мозкова атака”.

З’ясовуємо з учнями, які тригонометричні рівняння називаються однорідними і чи буде рівняння:

а) однорідним І степеня відносно синуса і косинуса;

б) - лінійним відносно синуса і косинуса;

в) як знайти область визначення функції .

ІІІ. Мотивація навчання.

Вчитель:

- Рівняння, які мають вигляд не схожі на ті, що ми розв’язували на попередньому уроці. Серед них не було і таких, які розв’язувались розкладанням на множники. Тому розглянемо прийоми розв’язування рівнянь такого типу.

Повідомляю тему і дидактичну мету уроку та запитую в учнів, що вони чекають від уроку

( ознайомитися…, дізнатися…, навчитися…, розвинути…, виховати…)

Епіграф до уроку

Багато чого з математики не залишається в пам’яті, але коли зрозумієш її, тоді легко при нагоді згадати призабуте”.

М. В. Остроградський

l. Набуття навичок і вмінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом розкладання на множники.

1.Коментоване розв’язування рівняння.

( під керівництвом вчителя ).

-Чи буде рівняння однорідним І степеня відносно синуса і косинуса?;

- Використайте формулу подвійного аргументу і запишіть результат:

- У лівій частині рівняння винесіть за дужки :

- Сформулюйте необхідну і достатню умову, при якій добуток виразів із змінними дорівнює нулю, і скористайтесь нею: або

- Розв’яжіть кожне з отриманих рівнянь:

а) є б) , , є

- Запишіть відповідь: є ; , є

Уточнюємо формулювання умови рівності нулю добутку виразів із змінними. Її можна сформулювати так: добуток виразів із змінними дорівнює нулю, якщо принаймні один із множників дорівнює нулю, а інші множники при цьому не втрачають змісту. У цьому формулюванні не можна опускати речення “а інші множники при цьому не втрачають змісту”.

Так у рівнянні добуток виразів із змінними дорівнює нулю, але , оскільки втрачає зміст при . Значить тільки вираз

2. Інтерактивна вправа” Мікрофон”. Розв’язування рівняння

Перед розв’язуванням рівняння з’ясовуємо , що в даному рівнянні треба замінити 1 на і на . Результати роботи обговорюємо колективно.

Оформлення розв’язання:

,

,

,

, або ,

а) , б) ,

є ; ,

, є ;

, є ;

, є ;

, є .

Відповідь: є ; , є .

3. Наступним розглянемо рівняння

(Два учні розв’язують на відкидних полях, а весь клас працює самостійно).

Перед розв’язуванням рівняння з’ясовуємо, що в даному рівнянні треба ліву частину розкласти на множники за формулою різниці квадратів, застосувати основну тригонометричну тотожність та формули подвійного аргументу, як в лівій, так і в правій частині отриманого рівняння).

Оформлення розв’язання:

( ,тобто

, звідки

Відповідь:

Вправа «Мозкова атака»

З’ясовуємо з учнями, які перетворення треба виконати в заданих рівняннях (керуючись алгоритмом), щоб отримати рівняння, які можна розв’язати способом розкладання на множники.

1.

2.

3.

4.

5.

Самостійна робота в парі (учні розв’язують 1 і 3 рівняння )

1.

Відповідь:

3.

Відповідь:

(показ на мультимедійній дошці після завершення роботи в парі, обговорення, коментування)

V. Рефлексія. Підсумок уроку.

Учитель:

- Повернемося до поставленої мети. Отже, чи досягли ми очікуваних результатів?

Коло вільних думок” ( інтерактивна вправа)

Повторили необхідну і достатню умову рівності добутку двох виразів із змінними нулю та навчилися застосовувати її при розв’язуванні тригонометричних рівнянь способом розкладання на множники. Також повторили деякі тригонометричні формули. Розвинули вміння працювати самостійно та в парі, інформаційні, полікультурні компетенції.

VI. Домашнє завдання.

1.

2.

3.

Додаткове завдання:

Урок №3

Тема уроку. Розв’язування дробово-раціональних рівнянь відносно тригонометричних функцій.

Дидактична мета: вироблення в учнів вмінь та навичок розв’язувати дробово-раціональні рівняння відносно тригонометричних функцій.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Використання стратегій критичного мислення:

Інтерактивні вправи “Мікрофон”,“Коло вільних думок”, “Розмірковуючи ─ навчаюсь”,”Обери позицію”.

▪ Самоаналіз, самоконтроль та взаємоконтроль,

самооцінювання та взаємооцінювання як запорука розвитку критичного мислення учнів.

Хід уроку

І. Перевірка д/з. Мультимедійна презентація. (Додаткове завдання перевіряється індивідуально)

1. ,

,

,

,

або ,

а) , , є, , є ;

б) , , є .

Відповідь: , є ; , є .

2. ,

,

, ,

Відповідь:

3. ,

,

,

,

а) , ;

б)

Відповідь: ;

Додаткове завдання:

,

,

.

Застосуємо спосіб групування

,

,

,

,

,

,

а) ,, є , , є;

б) ,, є , , є .

Відповідь: , є ; , kєZ.

ІІ. Мотивація навчання.

Вчитель:

- Рівняння, які ми будемо сьогодні розглядати не схожі на ті, що ми розв’язували на попередньому уроці. Серед них не було рівнянь типу , де і - функції синуса, косинуса, тангенса чи котангенса. Тому розглянемо різні прийоми розв’язування рівнянь такого типу.

Повідомляю тему і дидактичну мету уроку та запитую в учнів, що вони чекають від уроку

( ознайомитися…, дізнатися…, навчитися…, розвинути…, виховати…)

III. Вивчення нового матеріалу.

1.Розглянемо рівняння

Це рівняння виду =0

Вчитель:

- Давайте згадаємо, яка необхідна і достатня умова рівності дробу нулю, а також добутку виразів із змінними нулю .

Рівняння розв’язуємо колективно, при цьому один учень оформляє розв’язання на дошці.

Оформлення розв’язання:

Застосовуємо формулу суми косинусів двох аргументів.

; ;

а) , , є; , є

б) , , є

в) , , є

Використовуючи одиничне коло, отримаємо:

, є і , є - корені даного рівняння.

Відповідь: , є ; , є

2. Інтерактивна вправа Мікрофон

Розв’язати рівняння

1).Знайдемо ОДЗ рівняння: звідки +2п, є, або

, є.

2).Використовуємо формулу суми синусів.

3).Виносимо спільний множник за дужки:

4). Маємо:

5). Використовуємо умову рівності дробу нулю

або

6).а) , , є ; , є

7).б) , - рівняння розв’язків не має,

оскільки

8).Отже, маємо , є , але за ОДЗ , є

Використаємо для розв’язання одиничне коло і отримаємо:

Відповідь: , є .

3. Самостійне розв’язання рівняння (робота в парі)

Оформлення розв’язання: (показ на мультимедійній дошці після завершення роботи в парі)

Застосуємо формулу синуса різниці:

Отже, , є або , є

Відповідь:2l, є

Вчитель:

- Отже, ви познайомилися із тригонометричними рівняннями виду =0, де f(x) і g(x)-деякі тригонометричні функції, які можна розв’язувати, використовуючи необхідну і достатню умову рівності дробу нулеві.

Проте такий підхід іноді ускладнює їх розв’язування, оскільки вимагає дослідження одержаних розв’язків, яка часто складніша від самого процесу їх знаходження.

4. Розглянемо рівняння , яке ви розв’язували, працюючи в парі. Пропоную спосіб, суть якого полягає в заміні тригонометричних рівнянь виду =0 цілими тригонометричними рівняннями шляхом еквівалентних перетворень. Для цього використовуються:

  1. формули тангенса і котангенса половинного аргументу tg= (1); ctg = (2) та похідні від них

tg(-)= (3); ctg(-)= (4);

  1. теорема про рівносильність рівнянь;

  1. основна властивість дробів.

Використовуючи формули 1-4, можна деякі тригонометричні рівняння замінити цілими рівносильними на області їх допустимих значень.

Таким чином, рівняння можна розв’язати, використавши формулу (1)

Розв’язання

ОДЗ рівняння: 1+cosx≠0, тобто x +2l,lєZ.

За формулою (1) маємо: tg =0, звідки х=2k,kєZ.

Знайдені розв’язки задовольняють ОДЗ рівняння.

Відповідь: 2k,kєZ

5.Інтерактивна вправа “Розмірковуючи-навчаюсь“

(колективне розв’язування рівняння)

Розв’язати рівняння: =0

Розв’язання

ОДЗ рівняння: 1+sinx≠0, х≠-+2Пп, пєZ.

Перетворимо суму косинусів у добуток:

За формулою (3): - (),

a)tg()=0, або б) cos2x=0;

а) ; =, kєZ;

б) 2х=; .

Знайдені розв’язки задовольняють ОДЗ рівняння.

Відповідь: ;

6. Інтерактивна вправа “Обери позицію”. (самостійне розв’язування рівняння будь-яким способом; два учні розв’язують на відкидних полях кл. дошки).

I варіант

Розв’язання

Перший спосіб

Отже,

Відповідь:

Другий спосіб

ОДЗ рівняння:

За формулою (4):

Враховуючи ОДЗ, маємо:

тобто

Відповідь:

II варіант

Розв’язання

Перший спосіб

Отже,

Відповідь:

Другий спосіб

ОДЗ рівняння:

За формулою (2):

Враховуючи ОДЗ, маємо:

Відповідь:

IV. Рефлексія. Підсумок уроку.

Вчитель:

  • Повернемося до поставленої мети. Отже, чи

досягли ми очікуваних результатів?

Які враження справив на вас цей урок?

Про що нове ви дізналися на ньому?

Чи сприяла робота на уроці розвитку ваших математичних здібностей, критичного мислення, ваших компетенцій?

Коло вільних думок ( інтерактивна вправа)

(Повторили необхідну і достатню умову рівності дробу нулю, навчилися розв’язувати дробово-раціональні тригонометричні рівняння різними способами. Також повторили деякі тригонометричні формули. Розвинули вміння працювати самостійно та в парі, розвинули інформаційні, полікультурні компетенції).

VI. Домашнє завдання.

с.385 №13(3), ,

Урок №4

Тема уроку. Розв’язування тригонометричних рівнянь типу

a sin x + b cos x = с та таких, що розв’язуються штучними способами.

Дидактична мета: Ознайомлення учнів з розв’язуванням рівнянь виду a sin x+ b cos x = с та таких, що розв’язуються штучними способами; вироблення в учнів вміння аналізувати, порівнювати, знаходити оптимальні методи розв’язування рівнянь.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Використання стратегій критичного мислення:

  • інтерактивні вправи “Мікрофон”, “Розмірковуючи ─ навчаюсь”,”Обери позицію”;

  • самоаналіз, самоконтроль та взаємоконтроль, самооцінювання та взаємооцінювання, як запорука розвитку критичного мислення учнів.

Хід уроку

І. Перевірка д/з. Мультимедійна презентація. (Додаткове завдання перевіряється індивідуально)

1)

ОДЗ: , х≠п, є

Скоротимо дріб на , який не дорівнює нулю на ОДЗ рівняння. Тоді матимемо:

, є

Відповідь: , є

13(3) , ;

а) , , є

б) - рівняння розв’язків не має, оскільки

в) , , є .

Отже, , є .

Відповідь: , kєZ.

3).

ОДЗ: , , , є .

Замінимо на :

,

. Помножимо обидві частини рівняння на , який не дорівнює нулю на ОДЗ рівняння і отримаємо:

або .

Винесемо за дужки: ;

а) , , є , , є ;

б) , , є , , є .

Розв’язки першого рівняння а) включають в себе розв’язки другого рівняння б) тому , є .

Знайдені розв’язки задовольняють ОДЗ рівняння

Відповідь: , є .

Після перевірки домашнього завдання проводиться самостійна робота, аналогічна домашнім вправам.

II. Самостійна робота.

Варіант 1

а) , є ;

є ;

б) ,

,є,

, є.

Відповідь:

є ; , є.

Варіант2

,

,

а) cosx=0, , є ;

б) - рівняння

розв’язків не має ()

в) є.

Отже, , є

Відповідь: , є Z

Після виконання самостійної роботи проводимо її аналіз, пропонуючи такі запитання:

  1. які перетворення здійснили при розв’язуванні кожного рівняння?;

  1. які властивості застосували при розв’язуванні?;

  1. чи розв’язували рівняння іншим способом (В2) і яку отримали відповідь?;

  2. назвіть відповіді.

Перевіряється робота ( зразок - на відкидних полях дошки) і обговорюється результат.

Після самостійної роботи повідомляється тема і дидактична мета уроку.

III . Мотивація навчання.

На попередніх уроках ми познайомилися з різними видами тригонометричних рівнянь та способами їх розв’язання. Але серед них не було більше складних рівнянь, які потребують нестандартних способів розв’язування, логічного мислення, вміння аналізувати, знаходити оптимальні методи розв’язування. Почнемо із рівняння виду де - не дорівнюють нулю. Таке рівняння називається лінійним відносно синуса і косинуса. Ознайомимося з одним із способів його розв’язання.

Презентація теми уроку.

Вчитель:

- Визначимо, яких результатів очікує кожен із вас від уроку.

Інтерактивна вправа “Мікрофон“

Вчитель:

-Починати свою відповідь можете, як завжди, словами:

∙цей урок навчить мене…;

я очікую від цього уроку…;

цей урок допоможе мені…;

на цьому уроці я хочу дізнатися….

Епіграф до уроку

Найбільше математика корисна тим, що безпосередньо сприяє розвиткові чіткого мислення і духу відкриття”.

И.Гербарт

ІІІ . Вивчення нового матеріалу. Ознайомлення учнів із способами розв’язування лінійних рівнянь відносно синуса й косинуса та такими, які розв’язуються штучними способами.

Інтерактивна вправа “ Розмірковуючи − навчаюсь”.

Розв’язати рівняння: а)

Це лінійне рівняння відносно синуса й косинуса виду

Вчитель:

- Пропоную вам звернутися до таблиці, в якій класифіковано тригонометричні рівняння, та скористатися підказками. Який із способів, на вашу думку, є оптимальнішим і чому? ( Далі відбувається обговорення та колективне розв’язування рівняння під керівництвом вчителя )

Хід розв’язання

Поділимо обидві частини рівняння на ,

де .

.

Перепишемо рівняння так: .

Замінимо на і на , тоді отримаємо : .

Ліву частину замінимо синусом суми аргументів: .

Розв’яжемо отримане рівняння (далі учні розв’язують самостійно).

, є ;

, є ;

, є ;

Відповідь: , є .

б) sinx cosx =

- Це рівняння способом підстановки розв’язане у підручнику ( М.І.Шкіль,10-11 кл., 1995 р., с.120 §4 Пр.6), пропоную вам ознайомитися з розв’язком вдома. А зараз розв’яжемо це рівняння іншим способом.

Замінимо на , на ,

.

Тоді отримаємо:

,

звідки або (одночасно дорівнювати нулю множники не можуть)

а) , є , , є

б) : ,

,

, , є , , є .

Відповідь: , є ; , є .

Вчитель:

-Серед тригонометричних рівнянь зустрічаються і такі, які потребують застосувань штучних способів розв’язання. Розглянемо деякі з таких рівнянь і ознайомимося із способами їх розв’язання.

Мультимедійна презентація ( один з учнів презентує розв’язання наступного рівняння).

ОДЗ рівняння: , тоді

Якщо в тригонометричне рівняння входять сума або різниця синуса і косинуса та їх добуток, тоді суму або різницю заміняють новою змінною.

Нехай , тоді

або , звідки

Отримуємо рівняння відносно y:

або , розв’язавши яке, дістаємо: ,

Тоді: а) ,

,

,

,

,

, є ;

, є .

б) Аналогічно отримуємо, що . Це рівняння розв’язків не має, оскільки .

Відповідь: , є .

Інтерактивна вправа Мозкова атака”.

У кожному з наступних рівнянь з’ясовуємо, який із способів необхідно застосувати, щоб розв’язати рівняння.

1)

Запитання до учнів:

-як можна подати через х та ?

Учні помічають, що = х - і отримують рівняння:

sinх cos = 1 +sin (х - ) (за формулою замінюємо sin (х -) і т.д.)

2) сos х∙ sin

Застосуємо властивість обмеженості функції: значення синуса й косинуса за модулем не більше від 1, тому можливі лише випадки: а) обидва множники дорівнюють 1;

б) обидва можники дорівнюють -1.

Маємо сукупність систем:

3) cos3x+cosx=2

У зв’язку з обмеженістю функцій ,, дане рівняння зводиться до системи:

4) cosх ∙ sinх = 1 ( відомо, що не в кінцях горизонтального та вертикального діаметрів значення sinх і cos х менші від 1, а тому добуток не може дорівнювати 1. У кінцях же діаметрів також добуток не дорівнює 1. Отже, рівняння не має розвязків)

5) sin(15+x)+cos(45+x)=.

Зведемо рівняння до однієї функції:

( sin(15+x)=sin(90-75+x)=

=sin(90-(75-x))=cos(75-x)), а потім застосуємо формулу суми косинусів двох аргументів.

6) cos3x+cos4x+cos5x=.

Застосуємо формули зниження степеня (оскільки синус і косинус в парній степені), а потім застосуємо формулу суми косинусів двох аргументів.

7) sin(45-x)+2cos(45+x)=-3

Зведемо до одного аргументу: sin(45-x)=

sin(45-x+45-45)=sin(90-(45+x))=cos(45+x)

IV. Робота в парі. ( 7) і 6) рівняння. Два учні розв’язують ці рівняння на відкидних полях кл. дошки)

Розв’язання

7) sin(45-x)+2cos(45+x)=-3

Оскільки sin(45-x)= sin(45-x+45-45)=

sin(90-(45+x))=cos(45+x),то маємо рівняння:

cos(45+x) )+2cos(45+x)=-3,

3cos(45+x)=-3,

cos(45+x)=-1,

45+x=+2п,пєZ?

x=+3п,пєZ

Відповідь: x=+3п,пєZ.

  1. cos3x+cos4x+cos5x=.

Помножимо рівняння на 2 та використаємо формулу = і отримаємо: 1+ cos6x+1+cos8x+1+cos10x=3, або

cos6x+cos8x+cos10x=0

2cos8x∙cos2x+cos8x=0,

cos8x(2cos2x+1)=0,

а)cos8x=0, x=+п,пєZ;

б)cos2x=-, 2x=±+2k,kєZ,

x=±+k,kєZ.

Відповідь: +п,пєZ; ±+k,kєZ.

IV. Рефлексія. Підсумок уроку.

Вчитель:

  • Повернемося до поставленої мети. Отже, чи

досягли ми очікуваних результатів?

Коло вільних думок ( інтерактивна вправа )

Які враження справив на вас цей урок?

Про що нове ви дізналися на ньому?

Чи сприяла робота на уроці розвитку ваших математичних здібностей, критичного мислення, ваших компетенцій?

Чи мав виховне значення цей урок для вас?

V. Домашнє завдання.

§28, 1)с.386 №20(1)

2) ,

3) .

Додаткове завдання: с.385 № 17(1)

Урок 5

Тема. Розв’язування тригонометричних рівнянь, які відрізняються від найпростіших (слайд1 )

Мета: систематизувати та узагальнити знання про тригонометричні рівняння, які відрізняються від найпростіших.

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації умінь, знань та навичок.

Обладнання уроку: таблиці, картки−реклами, картки− завдання, картки−алгоритми, картки самооцінювання, картки із завданнями для групової самостійної роботи, картки для перевірки самостійної

роботи, картки із завданнями для домашньої роботи, мультимедійна презентація.

Вміння критичного мислення:

знаходити потрібну інформацію і використовувати її, приймаючи самостійне рішення ;

вміти аналізувати, систематизувати, узагальнювати, робити висновки;

уміти співпрацювати;

стимулювати бажання до самоосвіти та саморозвитку;

сприяти розвитку комунікативної, інформаційної, соціальної, полікультурної компетенцій.

Використання стратегій критичного мислення:

інтерактивні вправи Мікрофон, Вмієш сам − навчи другого, Коло вільних думок”;

робота в групах;

самоконтроль, самооцінювання, самоаналіз;

застосування методу де Боно різнокольорових капелюхів.

Завдання:

навчальні:

-відтворити знання про тригонометричні рівняння, їх види, способи розв’язування: вміння розв’язувати тригонометричні рівняння, що відрізняються від найпростіших різних видів, різними способами;

-систематизувати та узагальнити навчальні досягнення учнів щодо розв’язування тригонометричних рівнянь та їх використання в ході уроку під час формування компетенцій учнів з предмету;

розвивальні:

-розвивати увагу, мислення, память, культуру математичного мовлення;

-вміння працювати самостійно, вміння спілкуватися, допомагати іншим, аналізувати ситуацію, оцінювати свої дії та дії інших учнів;

-вміння і навички щодо розв’язування різного роду рівнянь, оформлення завдань;

-продовжувати розвивати загальнонавчальні навички (ведення зошита, організаційна робота, робота з роздатковим матеріалом, застосування теоретичних знань для виконання завдань);

-сприяти розвитку комунікативної, інформаційної, соціальної, полікультурної компетентностей, а також самоосвіти й саморозвитку, продуктивної творчої діяльності;

виховні:

-виховувати уважність, кмітливість, охайність, працьовитість, самостійність, дисциплінованість, самокритичність.

Методи:

-словесні: розповідь, бесіда, використання ключових слів, метод “різнокольорових капелюхів”, коментар до виконання вправ, самооцінка, взаємонавчання, методи мотивації, збудження інтересу, мозковий штурм;

-наочні: використання мультимедійної дошки, робота з роздатковим матеріалом – плакатами “самооцінювання”, метод “різнокольорових капелюшків”;

-практичні: розвязування вправ, складання плану розвязання, метод аналізу та синтезу; самостійна робота; робота в групах; просприктивний метод, метод повторення, поступового ускладнення завдань.

Оцінюється: рівень навчальних досягнень учнів.

Структура уроку.

  1. Організаційно-психологічна частина. Підготовка до свідомої навчальної праці; постановка мети, мотивація, очікувані результати, актуалізація опорних знань, умінь.

  1. Систематизація знань. Аналіз завдань. Узагальнення знань.

  1. Систематизація та узагальнення знань і умінь під час виконання групової роботи.

  2. Мозковий штурм

  3. Систематизація та узагальнення знань і умінь під час виконання самостійної роботи.

  4. Домашнє завдання.

  5. Підсумок уроку. Рефлексія. Самоаналіз уроку учнями.

Тема, мета (слайд2) та завдання(слайди3;4) висвічуються на екрані, після чого вчитель звертається до учнів зі словами:

- Отже, виходячи із теми уроку, його мети та завдань, які ставляться перед нами, що ви очікуєте від уроку? (учні висловлюють свої думки). Враховуючи ваші вислови, побажання та свої думки, думаю, що ви погодитесь з тим, що очікуваними результатами на цьому уроці будемо вважати такі.

Очікувані результати:

  • повторити види рівнянь та способи їх розв’язання;

  • удосконалити вміння розв’язувати рівняння, які відрізняються від найпростіших;

  • навчитися співпрацювати;

  • розвивати вміння працювати самостійно;

  • оформлювати правильно розвязки рівнянь;

  • розвивати увагу, математичне мислення;

  • критично оцінювати свої навчальні досягнення;

  • розвивати компетентності (інформаційні, полікультурні, комунікативні, соціальні);

  • виховувати увагу, кмітливість, охайність, працьовитість, самостійність, самокритичність.

Хід уроку

I. Організаційно-психологічна частина. Підготовка до свідомої навчальної праці.

Вітання з учнями.

2400 років тому китайський педагог Конфуцій сказав:

Те, що я бачу, я забуваю,

Те, що я бачу й чую, я трохи памятаю.

Те, що я чую, бачу й обговорюю, я починаю розуміти.

Коли я чую, бачу, обговорюю й роблю, я набуваю знань і навичок”

Отже, коли ви чуєте, обговорюєте й робите, то набуваєте знань і навичок, а значить досягаєте успіху. Готуючись до уроку, ви, за бажанням, увійшли до однієї з груп: під синім, білим, червоним та чорним капелюхом. Ви вже знайомі з таким методом аналізу ситуації, тому кожна група працює за переліком запитань протягом уроку, не забуваючи про питання – як досягти успіху? На уроці ви також будете здійснювати самоконтроль, самооцінювання та самоаналіз уроку, які будете проводити критично та обєктивно. Працюємо на довірі.

Скористаємося “Планом уроку” і ознайомимося з ним.

План уроку

  1. Тригонометричні рівняння, які відрізняються від найпростіших, їх види та способи розвязування (на стенді вивішується таблиця “Розвязування тригонометричних рівнянь, які відрізняються від найпростіших”)

  1. Приклади розвязування тригометричних рівнянь:

а) рівняння, що зводяться до квадратних;

б) рівняння, що розвязуються розкладанням на множники;

в) однорідні рівняння (І та ІІ степеня);

г) дробово-раціональні рівняння;

д) інші види рівнянь, що розв’язуються штучними способами.

Підготуємо зошити до роботи. Не забувайте, що при роботі з документами запорукою успіху є старанне, охайне, уважне ставлення до цієї роботи.

Епіграф до уроку

Узагальнення-це, мабуть, найлегший і найочевидніший шлях розширення математичних знань”

( В. Сойер )

Девіз уроку.”По сходинках –до вершини знань

I сходинка

Я знаю

Вивчення математики подібне до Нілу, що починається невеликим струмком, а закінчується великою річкою.

Ч. К. Колтон

II. Систематизація знань. Аналіз завдань. Узагальнення знань. (І етап уроку, який підлягає самооцінюванню)

Інтерактивна вправа “Мозковий штурм”.

Вчитель:

Систематизуємо отримані на попередніх уроках знання. Почнемо з аналізу.

І памятайте, що математику не можна вивчати спостерігаючи, як це робить сусід.

Отже, завдання перше під рубрикою “Знаємо, пам’ятаємо, розуміємо”

Вияснивши, до якої групи належать вказані рівняння (слайд5), скласти план їх розвязання:

а) 2 cos2 x + 7 sin x – 5 = 0

б) 2 cos2 x + 7 sin x cos х = 0

в) 9 sin2 x – 7 sin x cos х - 2 cos2 x = 0

г) 2 cos2 x + 7 sin x cos х - 9 sin2 x = 2

На обговорення в групах відводиться 1-3 хв., в ході якого кожен з учнів аналізує одне з рівнянь. Після цього кожна група повинна проаналізувати одне з рівнянь та вказати спосіб його розв’язання.

Заслуховуються відповіді учнів.

Самооцінювання завдання “Знаємо, пам’ятаємо, розуміємо” (учні виставляють бали до карток самооцінювання).

II сходинка

Я вмію

Багато чого з математики не залишається в памяті, але коли зрозумієш її, тоді легко при нагоді згадати призабуте.

М.В.Остроградський

III. Систематизація та узагальнення знань і вмінь під час роботи в групах.

Вчитель:

- Уміння працювати самостійно є дуже важливим і в навчанні, і в житті. Крім того, для досягнення успіху в житті важливим є наявність друзів, партнерів. Тому на цьому ІІ етапі, який підлягає самооцінюванню, у вас є вибір працювати повністю самостійно або скористатися допомогою.

Перед вами картки із завданнями і картки для перевірки відповідей. До кожного з завдань запропоновано одну картку з відповіддю – розмістіть їх під час розвязування за порядком номерів завдань.

Самостійне розв’язування рівнянь, які розглядалися

( кожен учень розв’язує одне з рівнянь, а в цей час інші учні групи слідкують за розв’язанням і за потребою допомагають. На виконання роботи відводиться приблизно 10 хв).

а) 2 cos2 x + 7 sin x – 5 = 0 (слайд6)

(Заміняємо cos2 x: cos2 x=1 – sin2 x)

2 (1 - sin2 x) + 7 sin x – 5 = 0

2 - 2 sin2 x + 7 sin x – 5 = 0

-2 sin2 x + 7 sin x – 3 = 0 · (-1)

2 sin2 x - 7 sin x + 3 = 0 (рівняння звели до квадратного відносно sinx)

Вводимо заміну:

sinx = у, де | у | ≤1

2 у2 – 7у + 3 =0

Д= 49-4· 2·3 = 49-24=25

у1= ; у2 =

sin x = у

sin x = sin x = 3 − рівняння коренів не має

х = (-1) n arcsin + n,п Z, х =(-1)n n, nZ

Відповідь : (-1)n n, n Z

б) 2 сos2 x + 7 sinx cos x =0

(Виносимо за дужки спільний множник cos x)

cos x · ( 2 cos x + 7 sin x) =0

Добуток дорівнює нулю, якщо один з множників дорівнює нулю

cos x =0, 2 cos x + 7 sin x =0 х = + Пп., n

2 + 7tg х = 0

7tg х = -2

tg х = -

х = arctg (-) + m, m

х = - arctg + m, m

Відповідь: + n , n; - arctg + m, m

в) 9 sin2 x – 7 sinx cos x – 2cos2x= 0 (слайд7)

(Це однорідне рівняння ІІ степеня. Ділимо його на

cos2x ≠ 0)

-

9 tg2x– 7 tg x– 2 =0

Заміна: tg x= y

9 у2 – 7у – 2=0

Д- 49- 4 •9 •(-2) = 49 + 72 = 121

у1= ; у2=

tg x = у

tg x = tg x = 1

х = arctg( ) + n , n х = arctg 1+ m , m

х = - arctg + n, n х = + m, m

Відповідь: - arctg + n, n ; + m, m

г) 2 сos2x + 7 sinx · cosx- 9 sin2x = 2 · 1 ( 1 = sin2x + сos2x) (слайд8)

2 сos2x + 7 sinx · cosx - 9 sin2x = 2 sin2x + 2 сos2x

2 сos2x + 7 sinx cosx - 9 sin2x - 2 sin2x - 2 сos2x = 0

7 sinx cosx – 11 sin2x = 0

sinx (7 cosx - 11 sinx) = 0

sinx = 0, або 7 cosx - 11 sinx = 0

х = 0 + π n, n

х = π n, n 7 – 11 tg x = 0

- 11 tg x = - 7

11 tg x = 7

tg x =

х = arctg + π m, m

Відповідь: π n, n ; arctg + π m , m

Після того, як діти закінчать розв’язування рівнянь, на мультимедійній дошці висвічується розв’язання кожного із рівнянь ( діти мають змогу перевірити та виправити допущені помилки, відкоригувати записи розв’язання). Самооцінювання завдань роботи в групах.

III сходинка

Я зможу

Навчання мистецтву розвязувати задачі-

це виховання волі

Д.Пойа

IV. Мозковий штурм ( в обговоренні беруть участь всі учні, вчитель “направляє” їхні думки)

- Переходимо до розгляду більш складніших рівнянь. Скласти план розв’язання рівнянь, проаналізувавши їх (рівняння висвічуються на мультимедійній дошці, слайд9).

а) ;

б) sin x ( ctg x+1) = 0 ( sinx ≠ 0, оскільки, якщо

sinx = 0, то ctg x =втрачає зміст, отже ctg x+1 =0);

в) (І спосіб: cуму в чисельнику перетворюємо в добуток, застосовуємо умову рівності дробу нулю);

( ІІ спосіб: знаходимо ОДЗ рівняння і на йогоОДЗ

розв’язуємо дане рівняння);

г) сos х sin ( значення синуса й косинуса за модулем не більше від 1, тому можливі лише випадки: cosх = 1 і cosх=- 1 і

sin = 1; або sin = -1.

д) cosх ∙ sinх = 1 ( Відомо, що не в кінцях горизонтального та вертикального діаметрів значення sinх і cos х менші від 1, а тому добуток не може дорівнювати 1. В кінцях же діаметрів також добуток не може дорівнювати 1. Отже, рівняння не має розвязків);

е) tg 4х = tg х,

(tg - tg = );

є) sinх · cos.

Запитання до учнів: як можна подати через х та ?

Учні помічають, що = х - і отримують рівняння:

sinх cos = 1 +sin (х - ) (за формулою sin () заміняємо sin (х -) і т.д.

V. Систематизація знань, умінь під час виконання самостійної роботи.

Після аналізу та складання плану розв’язання кожного з рівнянь, учні розв’язують рівняння а) колективно на дошці по типу “Мікрофон”, після чого виконують самостійну роботу (ІІІ етап, що підлягає самооцінюванню).

Рівняння б) і в) ( І варіант), е) і є) ( ІІ варіант).

б) sinx ( ctgx +1) = 0 (слайд10)

ОДЗ:Оскільки ctgx = , то sin x ≠0, звідки

x ≠2 π m, m Z;

sinx ( ctgx +1) = 0.

Оскільки sinx ≠0, то ctgx +1 =0,

ctgx = -1,

x= arсctg(-1) + π n, n Z;

x= π-arсctg1+ π n, n Z;

x= π- + π n, n Z;

x= + π n, n Z.

Відповідь: + π n, n Z

в) =0 (слайд11)

Знайдемо ОДЗ рівняння:

1-cosx ≠0,

cosx ≠1,

x ≠0+2πn, n Z;

x ≠2πn, n Z.

Розвязуємо рівняння на його ОДЗ:

Дане рівняння рівносильне системі: ;

sin3x+sinx=0,

2 sin2x cosx=0,

sin2x=0 aбо cosx=0

2x = 0 +π m, m Z; x =k, k Z.

2x = π m, m Z; x =m, m Z

Маємо:

x1 = +π k, k Z;

x2 = π+2 π l, l Z.

Відповідь: +π k, k Z; π+2π l, l Z

e) tg4x = tgx,(слайд14)

tg4xtgx=0 ,

(tg - tg=) sin3x=0,

3x = π n, n Z ,

x =n, n Z ,

cos4x≠0, 4xm, m Z,

cosx≠0, xk, k Z, х≠ m, m Z

Отже, x=n, n Z.

Відповідь: х=n, n Z

є) sinx cos=1+sin, (слайд12) (x-=)

sinx cos= 1+ sin(x-),

sinx cos= 1+ sinx cos- cosx sin,

sinx cos- sinx cos+ cosx sin=1,

cosx sin=1

Можливі два випадки:

або

Розвязуємо кожну з утворених систем за допомогою одиничного кола (слайд13)

або

Оскільки для кожної з систем знаходять спільні розвязки, то маємо рівняння:

n = 2π+ 8 πm : ( 2 π) π +2 πк = 6 π + 8 π l : (π)

n = 1 + 4 m 1+ 2к = 6 + 8l

x = 2(1+4m),mєZ 2к = 8 l + 6 –1

2k =8l +5

2k- парне, а 8 l +5 –непарне.

Отже, рівність 2 k = 8 l +5 неможлива, значить, друга система не має коренів.

Відповідь: x = 2π (1+ 4m), m Є Z

У житті показником успіху є не тільки кінцевий результат, а й процес його досягнення. Отже, зараз нам необхідно докладно перевірити розв’язання рівняння самостійної роботи для того, щоб ви могли впевнитися в правильності розв’язання, а якщо допустилися помилки, то мали змогу виправити її.

(На мультимедійній дошці висвічується розв’язок кожного з рівнянь).

(Самоперевірка. Запитати, чи потрібен коментар до деяких моментів).

Самооцінювання самостійної роботи.

VI. Домашнє завдання.

Вчитель:

− Працюючи разом, маючи поряд надійних партнерів, ми досягли певного успіху. Але в житті і в навчанні часто для досягнення повного успіху треба вміти працювати без допомоги, повністю самостійно. Р.Декарт говорив: ”Ми ніколи не станемо математиками, якщо наш розум нездатний самостійно розв’язувати проблеми“. Тому продовжувати працювати над розв’язанням тригонометричних рівнянь, які відрізняються від найпростіших, ви будете вдома, самостійно. Поставтесь з відповідальністю до виконання домашнього завдання і це вам допоможе досягти успіху під час написання контрольної роботи, яка буде проводитися на наступному уроці.

(Картка для диференціації домашнього завдання висвічується на екрані (слайд15), таку картку отримує кожен учень)

Рівень (бали)

Домашнє завдання

І рівень

1-3

cos2x – sin2

ІІ рівень

4-6

8 cos x – 2 sin 2 x = 0

Ш рівень

7-9

ІV рівень

10-12

sin x - Cosx =

Додаткове завдання

sin ( 450 - ) + 2 Cos ( 450 + ) = -3

Вказівка: Cos ( 450 + + 45 – 45))

А тепер порахуйте на картках суму балів – це й буде оцінка за урок.

(Учні-консультанти подають картки самооцінювання вчителю. Вчитель оголошує результати).

  1. Підсумок уроку. Рефлексія. Самоаналіз уроку учнями.

Вчитель звертається до учнів із запитаннями:

-Чи вдалося нам разом з вами отримати очікувані результати, якщо - ні, то чому?

-Над чим, ви вважаєте, нам потрібно попрацювати на наступному уроці?

-Які проблеми залишилися невирішеними на вашу думку?

Щоб відповісти на ці та інші запитання, перейдемо до самоаналізу уроку. Зараз саме час повернутися до початку нашого уроку, до мети, яку ми перед собою ставили. На мою думку, ми з вами досягли нашої мети – відтворили знання про тригонометричні рівняння, які відрізняються від найпростіших, та способи їх розв’язання, систематизували та узагальнили свої навчальні досягнення. Залишається різносторонньо проаналізувати ситуацію уроку, відповісти на запитання – що допомагало нам досягти успіху. Взагалі, вміння аналізувати є дуже важливим у наш інформаційний час. Людиною, яка вміє аналізувати, практично неможливо маніпулювати, вона завжди знайде вихід з будь-якої ситуації.

Приготуйте картки з орієнтовними запитаннями для самоаналізу за методом “різнокольорових капелюхів”. У вас є 1-2 хв. для обговорення.

(Виступ кожного учня групи – відповідь на одне із запитань)

Інтерактивна вправаКоло вільних думок.

Білий капелюшок (слайд16) (основні факти, відомості…).

  1. Яка тема уроку?

  1. Які знання, вміння було відтворено на уроці?

  1. Які вміння розвивали?

  2. Які методи роботи використовували?

Червоний капелюшок (слайд16) (емоції, почуття, викликані ситуацією, які здібності розвивалися).

  1. В якому настрої ви перебували на уроці(піднесеному, доброму, поганому, хвилювалися, боялися, були зацікавлені, замкнені)

  1. Яким був настрій у вашого вчителя?

  1. Розвитку яких здібностей сприяв урок?

  2. На розвиток яких рис характеру вплинув урок?

Чорний капелюшок (слайд17) (критика, негативні сторони ситуації).

  1. Що на уроці заважало вам працювати продуктивно?

  1. Що заважало вчителю?

  1. Що було зайвим на уроці?

  2. Які негативні елементи уроку ви помітили?

Синій капелюшок (слайд17) (життєвий урок, який можна винести з ситуації).

  1. Чи важливий цей урок для вас?

  1. Що корисного для навчання, ви отримали на уроці?

  1. Що корисного для подальшого життя ви винесли з уроку?

  2. Де, в яких ситуаціях ви можете використовувати набутий досвід?

Зелений капелюх(слайд18).

  1. Чи сподобався вам урок?

  2. Чи покращились ваші знання з теми?

  3. Чи подобається вам працювати в групі?

  4. Чи вважаєте ви, що такі уроки корисні?

Думаю, що самоаналіз ситуації ще не раз стане вам у пригоді. А закінчити урок хочу, вдягнувши «жовтий капелюшок» - колір сонця та оптимізму. Вчіть свій розум та душу бачити хороше – і тоді дорога до успіху буде для вас відкрита.

Дякую вам за допомогу в підготовці до уроку, за роботу на ньому.

Спасибі за урок, діти!

Бажаю всім присутнім успіху!(слайд 20)

Дякую за увагу!

Етапи уроку, які підлягають самооцінюванню

Бали

1

(1-3б)

“Знаю, пам’ятаю, вмію пояснити.

2

(1-3б)

Робота в групах

б)

(1-3б)

Самостійна робота

в)

(1-3б)

Сума балів

(слайд19)

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Формування навчальної мотивації в учнів. Теорія і практика»
Черниш Олена Степанівна
72 години
790 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.