Презентація "Тема: Вісім способів розв’язання тригонометричного рівняння

Опис документу:
Зведення рівняння до однорідного; Розскладання лівої частини на множники; Введення допоміжного кута; Перетворення різниці (або суми) тригонометричних функцій у добуток; Зведення до квадратного рівняння відносно однієй з функцій; Піднесення обох частей рівняння до другого степеня; Універсальна підстановка

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися
Опис презентації окремими слайдами:
Тема: Вісім способів розв’язання тригонометричного рівняння cos x – sin x = 1
Слайд № 1

Тема: Вісім способів розв’язання тригонометричного рівняння cos x – sin x = 1

Способи розв’язку Зведення рівняння до однорідного; Розскладання лівої частини на множники; Введення допоміжного кута; Перетворення різниці (або су...
Слайд № 2

Способи розв’язку Зведення рівняння до однорідного; Розскладання лівої частини на множники; Введення допоміжного кута; Перетворення різниці (або суми) тригонометричних функцій у добуток; Зведення до квадратного рівняння відносно однієй з функцій; Піднесення обох частей рівняння до другого степеня; Універсальна підстановка; Графічне розв’язання рівняння.

Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая ...
Слайд № 3

Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/

Перший спосіб. Зведення рівняння до однорідного; cos x – sin x = 1 sin x= 2 cosx/2sinx /2; cos x/2= cos²x/2 - sin²x /2 ; 1= sin²x+cos² ; cos² x/2-s...
Слайд № 4

Перший спосіб. Зведення рівняння до однорідного; cos x – sin x = 1 sin x= 2 cosx/2sinx /2; cos x/2= cos²x/2 - sin²x /2 ; 1= sin²x+cos² ; cos² x/2-sin² x /2 - 2 cos x/2 sin x /2= sin²x+cos² ; 2sin² x /2 + 2 sin x /2 cos x /2 = 0 ; 2sin x /2 (sin x /2 + cos x/2) = 0 ; sin x/2 = 0 або sin x/2 + cos x/2 = 0 – это однорідне рівняння першого степеня x/2 =  k, k є Z, Розділемо обидви частини рівняння на cos x/2, x = 2  k, k є Z cos x/2≠0, якщо cos x/2 = 0, то sin x/2 =0,але сінус та косінус одного аргументу не можуть одночасно рівнятися 0 через основну тригонометричну тотожность. Отримаємо: tq x/2 = -1, x/2 = -/4 + n , n Z ; x = - /2 +2 n, n Z ; Відповідь : x = 2 k, k є Z , x = -  /2 +2 n , n є Z.

Другий спосіб. Розкладання лівої частини на множники cos x – sin x = 1 sin x + (1 - cos x) = 0; 1 - cos x = 2 sin2 x/2; sin x= 2 sin x/2 cos x/2; 2...
Слайд № 5

Другий спосіб. Розкладання лівої частини на множники cos x – sin x = 1 sin x + (1 - cos x) = 0; 1 - cos x = 2 sin2 x/2; sin x= 2 sin x/2 cos x/2; 2 sin x/2 cos x/2 +2 sin2 x/2 = 0 ; sin x/2(cos x/2 + sin x/2) = 0. Далі як в першому випадку. x/2 =  k, k єZ або sinx/2+cosx/2=0 – это однорідне рівняння першого x = 2  k, k єZ степеня.Розділемо обидви частини рівняння на cos x/2≠0, Отримаємо: tq x/2 = -1, x/2 = -/4 + n , n є Z ; x = - /2 +2 n, n є Z . Відповідь: x = 2 k, k єZ ; x = -  /2 +2 n , n є Z.

Третій спосіб . Введення допоміжного кута cos x – sin x =1 cos /4 = sin /4 = 1/√2 , cos a cos b-sin a sin в = cos ( a-b), cos x 1/√2 - sin x 1/√2...
Слайд № 6

Третій спосіб . Введення допоміжного кута cos x – sin x =1 cos /4 = sin /4 = 1/√2 , cos a cos b-sin a sin в = cos ( a-b), cos x 1/√2 - sin x 1/√2 = 1/√2 ; cos x cos /4 – sin x sin /4 =1/√2 ; cos ( x +/4 )= 1/√2 ; x + /4 = ±arccos 1/√2 +2 k, k Z x= ± /4 -/4 +2 k, k Z ;

Увага!!! Еквівалентні чи ні наслідки, отримані в розглянутих способах розв’язку данного рівняння cos x – sin x = 1 ? Покажемо однозначність відпові...
Слайд № 7

Увага!!! Еквівалентні чи ні наслідки, отримані в розглянутих способах розв’язку данного рівняння cos x – sin x = 1 ? Покажемо однозначність відповідей 1 спосіб. 2 спосіб. x = 2  k, k є Z , x= ±/4- /4 +2 k, k єZ , 2 ;4 ;6 ;... 2 ; 3  /2; 4 ; 7  /2; 6 ; 11 /2... x = -  /2 +2 n , n є Z 3 /2; 7 /2; 11 /2...

Четвертий спосіб . Перетворення функцій у добуток cos x – sin x =1 Запишемо рівняння у вигляді: sin ( /2 – x) – sin x =1. Застосуємо формулу різни...
Слайд № 8

Четвертий спосіб . Перетворення функцій у добуток cos x – sin x =1 Запишемо рівняння у вигляді: sin ( /2 – x) – sin x =1. Застосуємо формулу різниці двох синусів: sin  - sin  = 2 sin (+ )/2 cos ( - )/2. 2sin π/4 cos( π/4 – x) = 1 ; 2· √2/2 cos (π/4 – x) = 1 ; cos (π/4 – x) = 1/√2 ; cos (x -π/4 ) = 1/√2 x -π/4 = ± arccos 1/√2 +2 k, k Z ; x = 2 k, k Z , x = -  /2 +2 n , n Z Відповідь : x = 2 k, k Z , x = -  /2 +2 n , n Z

П’ятий спосіб. Зведення до квадратного рівняння відносно однієї функції cos x – sin x =1 ; sin²x + cos²x = 1 ; cos x = ±√1- sin ²x ; ±√1- sin ²x – ...
Слайд № 9

П’ятий спосіб. Зведення до квадратного рівняння відносно однієї функції cos x – sin x =1 ; sin²x + cos²x = 1 ; cos x = ±√1- sin ²x ; ±√1- sin ²x – sin x = 1; ±√1- sin ²x = 1+ sin x ; Піднесемо до другого степеня : 1 – sin ²x = 1 + 2sin x + sin² x ; 2 sin ² x + 2sin x = 0 ; 2 sin x ( sin x + 1) = 0 ; sin x = 0 або sin x + 1 = 0 ; x = 2 k, k Z , x = -  /2 +2 n , n Z Відповідь : x = 2 k, k Z , x = -  /2 +2 n , n Z

Шостий спосіб. Піднесення обох частин рівняння до другого степеня cos x – sin x = 1 (cos x – sin x)²= 1² cos²2x – 2sin x cos x + sin² x = 1 1 -2 si...
Слайд № 10

Шостий спосіб. Піднесення обох частин рівняння до другого степеня cos x – sin x = 1 (cos x – sin x)²= 1² cos²2x – 2sin x cos x + sin² x = 1 1 -2 sin x cos x = 1 sin 2x = 0 x=/2 + k, k Z

Сьомий спосіб. Універсальна підстановка Виражемо усі функції через tg x по формулам : 2 tg x/2 1 - tg²x/2 2 tg x/2 Sin x= ————— ; cos x = ——————; t...
Слайд № 11

Сьомий спосіб. Універсальна підстановка Виражемо усі функції через tg x по формулам : 2 tg x/2 1 - tg²x/2 2 tg x/2 Sin x= ————— ; cos x = ——————; tg x =—————; 1 + tg²x/2 1 + tg²x/2 1 - tg²x/2 cos x – sin x=1 1 – tg ² x/2 2 tg x/2 ———— - ———— = 1 ; 1+ tg ² x/2 1 + tg x/2 Помножим обидви частини рівняння на 1 + tg2 x/2. 2 tg x/2 (1 +tg x/2) =1 ; tg x/2 = 0 або 1 + tg x/2 = 0 ; x = 2 k; k Z , x = -  /2 +2 n; n Z. Відповідь: x = 2k; k Z , x = -  /2 +2n; n Z.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Стрес і стрес-менеджмент учасників освітнього процесу»
Левченко Вікторія Володимирівна
30 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.