Посібник "Квадратні рівняння" Самостійні, контрольні роботи,тести.

Опис документу:
Методична розробка теми " Квадратні рівняння містить в собі викладку теоретичних знань з таких питань: 1) Квадратні рівняння. Довідниковий матеріал; 2) докладну теорію про квадратні рівняння, неповні квадратні рівняння,теорему Вієта. Робота містить наступний дидактичний матеріал у 2-х варіантах: Експрес - контроль, тести, різнорівневі самостійні та контрольні роботи, картки для заліку з вказаної теми, завдання для математичних естафет.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Квадратні рівняння найпростіших видів вавилонські математики вміли розв’язувати ще 4 тис. років тому. Згодом розв’язували їх також у Китаї та Греції. Особливу увагу квадратним рівнянням приділив Мухаммед аль – Хорезмі ( ІХ ст..).Він показав, як розв’язувати (при додатних а і в) рівняння видів х2 + ах = в, х2 +а = вх., ах + в = х2 , не використовуючи будь – яких виразів, навіть числа записував словами. Наприклад, рівняння х2 +21 = 10х вчив розв’язувати так: “Поділи пополам корені, вийде п’ять, і помнож це на рівне йому – буде двадцять п’ять, і відніми від цього двадцять один, то залишиться чотири, добудь з нього корінь, буде два, і відніми це від половини коренів, тобто від п’яти, - залишиться три; це й буде корінь, який ти шукаєш ” . Від’ємних коренів тоді ще визначали.

Індійські вчені у вирішенні цього питання пішли далі. Вони знаходили і від’ємні корені квадратних рівнянь. Наприклад, Бхаскара (1114 – 1178), розв’язуючи рівняння х2 – 45х = 250, знаходить два корені: 50 і – 5. Тільки після цього зауважує: Друге значення в даному випадку не слід брати, бо люди не схвалюють від’ємних абстрактних чисел

Алгебраїчні задачі на складання рівнянь індійські вчені записували у віршованій формі і розглядали їх як окремий вид мистецтва. Вони пояснювали:”Як сонце затьмарює зірки своїм сяйвом, так і вчена людина може затьмарювати славу інших в народних зібраннях, пропонуючи алгебраїчні задачі і, тим паче, розв’язуючи їх ”.

Формули коренів квадратного рівняння вивів Франсуа Вієт (1540 – 1603). Теорему, яку тепер називають його ім’ям, учений формулював так:Якщо (В +Д)А – А2 дорівнює ВД, то А дорівнює В і дорівнює Д. Від’ємних коренів він не розглядав.

Сучасні способи розв’язування квадратних рівнянь поширились завдяки працям Рене Декарта ( 1596 – 1650) та Ісаака Ньютона (1643 – 1727)

Квадратні рівняння. Довідниковий матеріал.

Означення

Приклади

Рівняння виду ах2 +вх.+с =0, де х – змінна; а,в,с – деякі числа, причому а0, називають квадратним рівнянням;
а – перший коефіцієнт, в – другий коефіцієнт, с – вільний член.

2+3х -1=0;
х
2-2х+4=0.

Якщо в цьому рівнянні хоча б з коефіцієнтів дорівнює нулю, то дане рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

1) ах2 =0; 2) ах2 +вх.=0; 3) ах2+с=0.

1) ах2 =0 при в=0, с=0;
х
2=0;
х=0
рівняння має тільки один розв’язок.

2=0;
х=0.

Відповідь: 0;

2.При с=0, ах2 +вх. =0;
х(ах +в) =0;
х
1=0 або (ах +в) =0; х2 = -
рівняння завжди має два розв’язки.

2 +3х=0;
х(4х+3)=0;
х=0 або 4х+3 =0;
х = -.

Відповідь: 0, - .

3) при в =0, ах2+с =0;
х
2= - ,
оскільки с 0, то - 0, тоді
а) якщо - 0, то рівняння має два розв’язки

х1= - ; х2 = ;
б)якщо - 0, то рівняння не має розв’язків.

2-4=0;
х
2= ;

х1 = ; х2 = - .

Відповідь: ; - .

16х2+9=0;
х
2 = -
немає розв’язків.

Відповідь: немає розв’язків.

Якщо а =1, то квадратне рівняння називають зведеним.

х2-х +30=0.

Повні квадратні рівняння ах2 +вх. +с =0, а 0, розв’язують за формулою

х1,2= , де D2-4ас називають дискримінантом даного квадратного рівняння.

Якщо D 0, то рівняння не має дійсних коренів.

2+5х+6=0;

D =25 -48 = - 23;

D 0, отже, рівняння не має дійсних розв’язків.

Якщо D = 0, то рівняння має два однакові розв’язки: х12 = - .

2+4х+1=0;

D = 16 – 16 =0, D =0, отже , рівняння має два однакові розв’язки: х12 = - .

Відповідь: - 0,5.

Якщо D 0, то рівняння має два різних розв’язки:
х
1=.

2+3х+1=0;

D = 9-8=1;
х
1=.

Відповідь: - 0,5;- 1.

Для квадратного рівняння ах2+2kх +с =0, другий коефіцієнт кого є парне число, формулу розв’язків зручно записати так:

Теорема Вієта.
ах
2+вх.+с=0, а 0, х1х2 = , х12 = - у зведеному квадратному рівнянні х2+вх.+с=0

х12=- в, х1х2 =с.

2+8х-3=0;

D1 =16+9=25;
х
1=.

Відповідь: , - 3.

х2-5х+6=0;
х
12=5; х1х2 =6;
х
1 =3; х2=2.

Відповідь: 2; 3.

Рівняння виду ах4 +вх2+с =0, де а 0, в 0 називається біквадратним рівнянням.

4+3х2+4=0.

Формула розкладу квадратного тричлена на множники: ах2+вх.+с=0 = а(х-х1)(х-х2).

2-х-3 = 2(х-х1)(х-х2);

2-х-3=0;
х
1=1,5; х2= -1.

2-х-3 = 2(х-1,5)(х+1)

Учнівська сторінка

1.Знайти всі розв’язки рівняння.

1) 11х2-99=0.

2) х2-4х=0.

3) 4х2-3х-1=0.

Розв’язання.

Перетворимо дане рівняння. Знайдемо невідомий множник.

11х2=99; х2=99:11; х2=9; х1=
х
1=3; х2 =-3.

Винесемо спільний множник за дужки.
х(х-4) =0; х=0 або х-4=0; х = 4.

D = (-3)2-4*4*(-)=9+16=25, D 0, отже, рівняння має два різних розв’язки:

Відповідь:

-3;3.

0;4.

-;1.

2.Знайти всі розв’язки рівняння.

1) х2+7х+10=0;

2) х2-3х+9=0.

Розв’язання.

І спосіб.

D=72-4*1*10=49-40=9.

D0,отже, рівняння має два різних розв’язки:
х
1=

D=(-3)2- 4**9=9-9=0. D=0, отже, рівняння має два однакові розв’язки:
х
12=

ІІ спосіб.

За теоремою Вієта:
х
1=-2; х2=-5.

За формулою скороченого множення маємо:

х2-3х+9 = (х-3)2, отже, маємо рівняння:

(х-3)2=0; х -3 =0; х =3; х = 3: ; х=6.

Відповідь:

-2;-5.

6.

3.Розкла-

сти квадратний тричлен на множники.

1)у2-3у+2=(у-у1)(у-у2)

2)4х2-19х+12 = 4(х-х1)(х-х2).

Розв’язан-

ня.

у2-3у+2=0;
За теоремою Вієта:

у1=2; у2=1, отже

у2-3у+2 = (у-2)(у-1).

2-19х+12 =0; D = (-19)2 – 4*4*12=361-192=196.

Відповідь:

(у-2)(у-1).

(х-4)(4х-3).

4.Скороти дріб.

1)

2)

Розв’язання

Розкладемо чисельник на множники:
х
2-7х-8 (х-х1)(х-х2);
х
2-7х-8=0. За теоремою Вієта: х1 =8; х2=-1;
х
2-7х-8 = (х-8)(х+1), тоді:
=

Розкладемо чисельник на множники:

2+х- 6 =2(х-х1)(х-х2); 2х2+х-6=0;

D=1-4*2*(-60 = 1+48=49;

2+х-6 = 2(х-)(х+2)=(2х-3)(х+2);
тоді: =

Відповідь:

х-8.

.

Квадратні рівняння.

Рівняння виду ах2+bх+с =0 ( а0) називається квадратним рівнянням з однією змінною. А – коефіцієнт при х2 ( перший коефіцієнт),b – коефіцієнт при х (другий коефіцієнт), с – вільний член.

Якщо b 0, с 0, то квадратне рівняння називається повним. Якщо а =1, то квадратне рівняння називається зведеним, якщо а 1, - незведеним. Незведене квадратне рівняння завжди можна зробити зведеним, розділивши обидві частини на перший коефіцієнт а 0.

ах2+bх +с =0 х2 + х+ =0 (а 0) – зведене квадратне рівняння.

Зведені квадратні рівняння звичайно записуються у вигляді х2+px+q =0.

Корені квадратного рівняння можна знайти, виділяючи повний квадрат двочлена з квадратного тричлена:

ах2+bх+с =0 х2 + х+ =0

Таким чином, корені квадратного рівняння ах2+bх+с =0 знаходять за формулою
називається дискримінантом квадратного рівняння ах
2+bх+с =0.

Якщо D 0, то рівняння ах2+bх+с =0 не має дійсних коренів, якщо D =0, то х12 =

і рівняння ах2+bх+с =0 має рівні корені ( у цьому випадку говорять, що рівняння має кратний корінь кратності два); якщо D 0, то рівняння ах2+bх+с =0 має два різних дійсних корені.

Отже, D0

Якщо b = 2k (b – парне число, k ), то формулу для знаходження коренів можна спростити:

Неповні квадратні рівняння

Якщо другий коефіцієнт b або вільний член с дорівнює нулю, то квадратне рівняння ах2+bх+с =0 називається неповним. Для відшукання коренів неповного квадратного рівняння звичайно не користуються формулами для знаходження коренів повного квадратного рівняння, тому що неповні квадратні рівняння простіше розв’язувати методом розкладання їхньої лівої частини на лінійні множники.

Отже, розглянемо розв’язання рівняння ах2+bх+с =0, коли

1) с=0; 2) b =0; 3) b=с=0.

1)с=0; ах2+bх =0 х(ах +b) =0 х1=0, х2= -;

2) b =0; ах2+с =0 ах2 =-с х2 = - х= , якщо ≤ 0; якщо 0, то рівняння не має дійсних коренів.

3) b = с =0; ах2 =0 х12 =0 ( а≠0).

Теорема Вієта

Теорема Вієта формулюється в такий спосіб: якщо зведене квадратне рівняння
x2+px+q =0 має дійсні корені х1 і х2, то їхня сума дорівнює ( - p), а добуток дорівнює q, тобто x2+px+q =0

Таким чином, сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Зауваження. Оскільки незведене квадратне рівняння завжди можна зробити зведеним, розділивши його обидві частини на коефіцієнт при х2, то теорема Вієта для незведеного квадратного рівняння має вигляд

ах2+bх+с =0

З теореми Вієта для незведеного квадратного рівняння випливає, що квадратний тричлен може бути розкладений на лінійні множники в такий спосіб:
ах
2+bх+с = а(х –х1)(х-х2), де х1 і х2 – коренів рівняння ах2+bх+с =0.

Експрес - контроль

Тести з теми «Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння»

Варіант 1.

1.Яке з рівнянь є квадратним?

А) х2 +6х + 9 = 2 х2 ; Б) 0 * х2 – 5= 0; В)6х – 1 =0; Г) х2 – 4х – 1 =0.
2.Назвіть коефіцієнти а,в,с, квадратного рівняння 5х + х
2 4 = 0.

А)1;5;-4; Б)5;1; -4; В)- 4;5; 1; Г)1; - 4; 5;
3. Розв’яжіть рівняння х
2 +0.8х = 0.

А)0; Б)- 0.8; В)0; 0.8; Г) 0; - 0.8;
4.Виберіть неповне квадратне рівняння, у якому перший коефіцієнт дорівнює – 5, а вільний член +7.

А) -5 х2 + 7х =0; Б)-5х +25 =0; В)-5 х2 + 7 =0; Г)7 х2 – 5 =0.
5. Яке з рівнянь має два протилежні цілі корені?

А) х2 + 25х =0; Б) х2 + 25 =0; в) х2 – 25 =0; г) х2 – 5 =0.

Варіант 2.

1.Яке з рівнянь є квадратним?

А) + х2 +1 =0; Б) х2 +3х -2 = 0.8; В) х2 = х2 +1; Г)5х +4 =0.
2.Назвіть коефіцієнти а,в,с квадратного рівняння 7 - 3 х
2 +х =0.

А)1;-3;7; Б)-3;7;1; В)7;-3;1; Г)-3;1;7.
3.Розв’яжіть рівняння х
2 – 0.9х =0.

А)-0.9; Б)0; в)0;0.9; Г)0.9; -0.9.
4.Виберіть неповне квадратне рівняння, у якому перший коефіцієнт дорівнює -3, а вільний член +5.

А)-3х + 5=0; Б)-3 х2 =5; В)-3 х2 +5х =0; Г)-3 х2 +5 =0.
5.Яке з рівнянь має два протилежні ірраціональні корені?

А) х2 -36 =0; Б) х2 -6=0; В) х2 -6х=0; Г)х-6=0.

Тести з теми «Формула коренів квадратного рівняння»

Варіант 1.
1.Дискримінант якого з рівнянь дорівнює 49?

А)5 х2 +3х+2=0; Б)2 х2 -3х -5=0; В)3 х2 -3х-7=0; Г)2 х2 -3х+5=0.
2.Розв’яжіть рівняння х
2 +х-20=0.

А)4;5; Б)4;5; В)-4;5; Г)-4;-5.
3.При яких значеннях у рівність (2у -3)
2 = у2+4у +4 є правильною?

А)5;; Б)таких значень не існує; В)- ;-5; Г) ;-5.
4.Не розв’язуючи рівняння, встановіть, які з них мають єдиний корінь.

А) х2 -10х+15=0; Б) х2 -10х+25=0; В) х2 10х=0; Г) х2 -10=0.
5.Знайдіть у виразі + допустимі значення змінної.

А)х≠0;х≠2; Б)х≠5;х≠-2; В)х≠+2;х≠0; х≠5; Г)х≠ 2;х=0;х=5.

Варіант 2.
1.Дискримінант якого з рівнянь дорівнює 25?

А)4х2 -3х+1=0; Б)2х2 -3х+2=0; В)2х2 +3х-2=0; Г) х2 +3х+25=0.
2.Розв’яжіть рівняння х
2 2х -15=0.

А)-5;3; Б)3;5; В)-3;5; Г)-5;-3.
3.При яких значеннях х рівність (3х +1)
2 = 3х +1 є правильною?

А)0; ; Б)- ; В)- ;0; Г) таких значень не існує.
4.Не розв’язуючи рівняння, встановіть, які з них мають єдиний корінь.

А) х2 -6х+19=0; Б) х2 6х=0; В) х2 -6х+9=0; Г) х2 6=0.
5.Знайдіть у виразі допустимі значення змінної.

А)у= -3;у=1;у=3; Б)у≠-3;у≠1; В)у≠3; Г)у≠3;у≠1.

Тести з теми «Теорема Вієта»

Варіант 1.
1.Знайдіть суму коренів рівняння 5х
2 -9х -2=0.

А)-9; Б)1.8; В)-1.8; Г)інша відповідь.
2.Знайдіть добуток коренів рівняння 5х
2 -3х+2=0.

А0-2; Б)2; В)0.4; г)інша відповідь.
3.Знайдіть суму і добуток коренів квадратного рівняння.

А-5;6; Б)5;-6; В)-5;-6; Г)5;6.
4.Знайдіть невідомий коефіцієнт в і другий корінь рівняння 2х
2 +вх.-10=0, якщо один з коренів дорівнює 5.

А)-8;-1; Б)-8;1; В)0;; Г)-4;0.
5.Один із коренів рівняння х
2 +х +с дорівнює -2. Знайдіть коефіцієнт і другий корінь рівняння.

А)2;-1; Б)-2;1; В)-2;-1; Г)інша відповідь.

Варіант 2.
1.Знайдіть суму коренів рівняння 2х
2 –х +7 =0.

А)1; Б)-1; В)0.5; Г) інша відповідь.
2.Знайдіть добуток коренів рівняння 2х
2 -13х-7=0.

А)-7; Б)3.5; В)-3.5; Г)інша відповідь.
3.Знайдіть суму і добуток коренів рівняння х
2 6х +5 =0.

А)6;5; Б)-6;5; В)5;6; Г)6;-5.
4.Знайдіть невідомий коефіцієнт а та другий корінь рівняння 3х
2 +ах+24 =0, якщо один із коренів дорівнює 3.

А)3;0; Б)-17;2; В)17;-2; Г)-11;1.
5. Один із коренів рівняння х
2 -4х +с =0 дорівнює 3. Знайдіть коефіцієнт с і другий корінь рівняння.

А)3;1; Б)-3;-1; В)-3;1; Г)інша відповідь.

Квадратні рівняння.

Самостійна робота.

Тема. Розв’язування квадратних рівнянь.

В-І

6 балів

В-ІІ

1.Розв’яжи рівняння

а)7х2 -21х=0; б) х2 +5х -24=0.

а) 24у +8у2=0; б) х2 +11х+24 =0

2.При якому значенні змінної значення дробу дорівнює нулю?

а) ; б).

а)

В-ІІІ

9 балів

В - ІУ

1.Розв’яжи рівняння.

а)-х2+8х =0; б)3 х2 +7=0;
в)2 х
2+3х+1=0.

а)- х2+7х=0; б)4 х2 +17=0;
в)2 х
2-5х-3=0.

2.При якому значенні змінної значення дробу дорівнює нулю?

а)

а)

В – У

12 балів

В - УІ

1.Розв’яжи рівняння

а)х2-8х=0; б) х2 + х-=0;
в)12х
2+х-1=0; г) х2+4х+5=0.

а)у2+5у=0; б)у2 -у - =0;
в)10у
2+3у – 1=0; г)14х2 – 5х – 1 =0.

2.При якому значенні змінної значення дробу дорівнює нулю?

а)

а)

Контрольна робота

Тема. Квадратні рівняння.

В – І

9 балів

В – ІІ

1.Розв’яжи рівняння

а)3х2+0,9х=0; б)4х2-5х-6=0;
в) х
2+14х+33=0; г)4х -=1.

а)5х2+1,5х=0; б)4х2+5х-6=0;
в) х
2+15х+44=0; г)4х+1 =.

2.Склади квадратне рівняння за його коренями.

х1=3-

В – ІІІ

12 балів

В – ІУ

1.Розв’яжи рівняння

а)9х3=4х; б)6х2-11х+3=0;
в) х
2 -23х+90 =0;
г)

а)16х3=9х; б)6х2+11х+3=0;
в) х
2-24х+108=0;
г)

2.Знайди область визначення виразу.

3.Розв’яжи рівняння, ввівши нову змінну.

2-3)2-6(х2-3) + 9 =0.

2-2)2 – 8(х2-2) + 16 = 0.

4.Розв’яжи рівняння графічно.

х2+ 2х = 0.

2х - х2 = 0.

Самостійна робота

Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння.

Початковий і середній рівні ( 6 балів).

У завданнях 1 – 3 виберіть одну правильну відповідь і позначте її в бланку відповідей.

1.Укажіть коефіцієнти а,в,с в даному квадратному рівнянні:

Варіант 1 Варіант 2

х2 – 2х + 3 = 0 3х2 – х – 5 = 0

А) 1;2;3;

Б)3;-1;-5.

В)1;-2;3

В)1;2;-3


2.Розв’яжи рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

у2-16=0 25 – у2 = 0.

А)4

Б)5

В)-5;5

Г)-4;4


3.Знайдіть корені рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

х2-5х = 0 3х + х2 = 0.

А)0

Б)-3;0

В)0;5

Г)5

Достатній рівень ( 3 бали)

Розв’яжи завдання 4,5. Запишіть відповідь у зошит і перенесіть її до бланка відповідей.

4.Розв’яжіть рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

х(2х+3) = (2х+1)(2х-1) (х-3)(х+2) = ( 3х+2)2

5.Знайдіть корені рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

2+8х+1 = 0 7х2 +6х =1 =0.

Високий рівень ( 3 бали)

Розв’яжіть завдання 6. Розв’язання має містити обґрунтування ( послідовні логічні дії та пояснення)

6.При якому значенні а один із коренів рівняння 3х2 – ах +6 = 0 дорівнює

Варіант 1 Варіант 2

-3 2?

Відмічайте тільки одну правильну відповідь. Дотримуйтесь даних вказівок.

У завданнях 1 – 3 правильну відповідь позначайте так:

Х

А Б В Г А Б В Г А Б В Г

1 2 3

У завданнях 4,5 правильну відповідь записуйте у рядок.

4. Відповідь:

5. Відповідь.

6. Відповідь:

Самостійна робота

Квадратні рівняння
Початковий і середній рівні ( 6 балів)

У завданнях 1 – 3 виберіть одну правильну відповідь і позначте її в бланку відповідей.

1.Знайдіть дискримінант квадратного рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

2-х-2=0 2х2+х-3=0

А)7

Б)-23

В)25

Г)-25

2.Скільки коренів має квадратне рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

х2 – 6х + 9=0? х2 – 4х + 5 = 0?

А)два

Б)один

В)жодного

Г)інша відповідь

3.Знайдіть корені рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

2-7х+4=0 5х2-6х+1=0

А)0,2;1

Б)-1;-0,2

В)1;1

Г)-1;-1

Достатній рівень ( 3 бали)

Розв’яжіть завдання 4,5. Запишіть відповідь у зошит і перенесіть її до бланка відповідей.

4.Розв’яжіть рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

(х-1)2+(х+2)2 –(х-3)(х+3) = 22 (х-2)2+(х+1)2-(х-5)(х+5) = 45

5.Знайдіть корені рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

Високий рівень ( 3 бали)

Розв’яжіть завдання 6. Розв’язання має містити обґрунтування (послідовні логічні дії та пояснення)

6.Доведіть, що при будь – якому значенні а дане рівняння має два корені.

Варіант 1 Варіант 2

2-ах -5 =0 3х2-ах -7=0

Відмічайте тільки одну правильну відповідь. Дотримуйтесь даних вказівок.

У завданнях 1 – 3 правильну відповідь позначайте так:

Х

А Б В Г А Б В Г А Б В Г

1 2 3

У завданнях 4,5 правильну відповідь записуйте у рядок.

4. Відповідь:

5. Відповідь.

6. Відповідь:

Тематичне оцінювання

Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння. Теорема Вієта.

Початковий і середній рівні ( 6 балів)

У завданнях 1 – 6 виберіть правильну відповідь і позначте її в бланку відповідей.

1.Знайдіть корені рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

8 х2-2=0 5 х2+5=0

А)0,5

Б)1

В)-0,5;0,5

Г)інша відповідь

2.Розв’яжіть рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

х2=4х х =5 х2

А)0;4

Б)0

В)0;0,2

Г)0,2

3.Знайдіть дискримінант квадратного рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

3 х2-х-5=0 2 х2+х-8=0

А)65

Б)-63

В)61

Г)-59

4.Знайдіть корені рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

5 х2=х+4 8-х=7 х2

А)-1;0,8

Б)-0,8;1

В)1;-1

Г)-1;1

5.Знайдіть суму та добуток коренів квадратного рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

2-3х+1=0 3х2-2х-1=0

А)3;1

Б)

В)2;-1

Г)1,5;0,5

6.Знайдіть методом підбору корені рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

х2-3х-10=0 х2-11х-80=0

А)-5;-2

Б)5;-2

В)-16;-5

Г)16;-5

Достатній рівень ( 3 бали)

Розв’яжіть завдання 7,8. Запишіть відповідь у зошит і перенесіть її до бланка відповідей.

7. Розв’яжіть рівняння:
Варіант 1 Варіант 2

8.Один з коренів даного рівняння менший від другого на 2. Знайдіть коефіцієнт n та корені рівняння:

Варіант 1 Варіант 2

х2+8х+ n=0 х2-10х+ n=0

Високий рівень ( 3 бали)

Розв’яжіть завдання 9. Розв’язання має містити обгрунтовання.

9.Знайдіть, при якому значенні а рівняння має один корінь. Знайдіть цей корінь.

Варіант 1 Варіант 2

5 х2-ас +5 =0 3 х2-ах +3 =0

Відмічайте тільки одну правильну відповідь. Дотримуйтесь даних вказівок.

У завданнях 1 – 3 правильну відповідь позначайте так:

Х

А Б В Г А Б В Г А Б В Г А Б В Г

1 2 3 4

А Б В Г А Б В Г

5 6

У завданнях 4,5 правильну відповідь записуйте у рядок.

7. Відповідь:

8. Відповідь.

9. Відповідь:

Самостійна робота № 4

Квадратні рівняння. Теорема Вієта.

Варіант 1

1.(0,5 бали) Серед наведених рівнянь укажіть квадратне.

А

Б

В

Г

3х-1=9

3-4х-1=0

2-6х+1=0

2.(0,5 бали) Розв’яжіть рівняння 4х2 =0

А

Б

В

Г

-4

3

0

2

3.(0,5 бали) Розв’яжіть рівняння 9х - 3х2=0

А

Б

В

Г

0

3

0;3

-3

4.(0,5 бали) Знайдіть корені рівняння х2-7х-12=0

А

Б

В

Г

-1; -2

4;3

1;4

-4;-3

5.(0,5 бали) Знайдіть суму коренів рівняння х2-9х+1=0

А

Б

В

Г

-9

9

-1

1

6.(0,5 бали) Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа дорівнює 576 см2

А

Б

В

Г

24 см

25 см

26 см

36 см

7.( 1 бал) Розв’яжіть рівняння:
а) 3х
2=18х;

А

Б

В

Г

6

0

-6

0;6

б)100х2-16 =0.

А

Б

В

Г

0,16

+0,4

0,4

-0,4

8.( 1 бал) Розв’яжіть рівняння 2х2+7х-9 =0.

А

Б

В

Г

Коренів немає

-1; 4,5

1;4,5

1;-4,5

9.( 1 бал) Складіть зведене квадратне рівняння, сума коренів якого дорівнює 5, а добуток – числу 4.

А

Б

В

Г

х2-5х-4=0

х2-5х+4=0

х2+5х+4=0

х2+5х-4=0

10.( 2 бали) Розв’яжіть рівняння (3х-1)(3х+1) = (2х+1)2+х-2

11.( 2 бали) Розв’яжіть рівняння х2 -7|х|+12=0.

12.(2 бали) Не розв’язуючи рівняння х2-14х +5 =0, знайдіть значення виразу х21 22, де х1 і х2 корені цього рівняння.

Варіант 2.

1.(0,5 бали) Серед наведених рівнянь укажіть квадратне.

А

Б

В

Г

2-8 =9

3-6х+1=0

6х+1=0

2.(0,5 бали) Розв’яжіть рівняння - 4х2 =0

А

Б

В

Г

4

3

0

2

3.(0,5 бали) Розв’яжіть рівняння 6х + 3х2=0

А

Б

В

Г

0

-2

0; -2

2

4.(0,5 бали) Знайдіть корені рівняння х2-10х +21=0

А

Б

В

Г

-1; -2

7;3

1;2

-7;-3

5.(0,5 бали) Знайдіть добуток коренів рівняння х2 + 7х - 4=0

А

Б

В

Г

-7

7

-4

4

6.(0,5 бали) Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа дорівнює 625 см2

А

Б

В

Г

24 см

25 см

26 см

21 см

7.( 1 бал) Розв’яжіть рівняння:
а) 16х
2=49;

А

Б

В

Г

-;

б)2х2-3х =0.

А

Б

В

Г

1,5

0;1,5

0; - 1,5

0;

8.( 1 бал) Розв’яжіть рівняння 3х2+13х-10 =0.

А

Б

В

Г

-10;

5; -

Коренів немає

-5;

9.( 1 бал) Складіть зведене квадратне рівняння, сума коренів якого дорівнює 7, а добуток – числу -8.

А

Б

В

Г

х2+7х-8=0

х2-7х-8=0

х2+7х+8=0

х2-7х+8=0

10.( 2 бали) Розв’яжіть рівняння (х-3)(х+3) = (2х -3)2-18

11.( 2 бали) Розв’яжіть рівняння х2 -5|х| - 24=0.

12.(2 бали) Не розв’язуючи рівняння х2-8х +11 =0, знайдіть значення виразу , де х1 і х2 корені цього рівняння.

Контрольна робота №5

Тема. Квадратні рівняння. Формула коренів квадратного рівняння. Теорема Вієта.

Варіант 1.

І – ІІ. Початковий та середній рівні навчальних досягнень.

У завданнях 1 – 6 виберіть правильну відповідь.

1.Які з чисел є коренями рівняння 36х –х2=0?

А

Б

В

Г

-6;0;6

0;6

-6;6

0;36

2.Розв’яжіть рівняння 3х2 – 12 = 0

А

Б

В

Г

-1;1

-2;2

-3;3

-4;4

3.Не розв’язуючи рівняння х2-9х+1 =0, знайдіть суму його коренів.

А

Б

В

Г

-9

9

-1

1

4.Не розв’язуючи рівняння х2 +5х -3 =0, знайдіть добуток його коренів.

А

Б

В

Г

-5

5

-3

3

5.З наведених рівнянь виберіть те, коренями якого є числа -2 і 3.

А

Б

В

Г

х2-х-6=0

х2-2х+3=0

(х-2)(х+3)=0

х2+2х-3=0

6.Які з чисел є коренями рівняння 2х2-7х-30=0?

А

Б

В

Г

1;2

-3;-2

6;-2,5

0;-1

ІІІ. Достатній рівень навчальних досягнень.

7.Корені х1 та х2 рівняння х2-4х +в =0 задовольняють умову 2х1+3х2 =5. Знайдіть корені рівняння і значення в.

8.Число – 3 є коренем рівняння 2х2+3х +а =0. Знайдіть другий корінь рівняння і значення а.

ІУ. Високий рівень навчальних досягнень.

9.Відомо, що х1і х2 – корені рівняння х2-9х +5 =0. Не розв’язуючи цього рівняння, знайдіть значення виразу х21 22.

10. При якому значенні а рівняння 3х2-6х +а =0 має один корінь? Знайдіть цей корінь.

Варіант 2.

І – ІІ. Початковий та середній рівні навчальних досягнень.

У завданнях 1 – 6 виберіть правильну відповідь.

1.Які з чисел є коренями рівняння 49х –х2=0?

А

Б

В

Г

0;7

-7;0;7

0;49

-7;7

2.Розв’яжіть рівняння х2 – 9 = 0

А

Б

В

Г

1;-1

2;-2

3;-3

4;-4

3.Не розв’язуючи рівняння х2+6х+5 =0, знайдіть суму його коренів.

А

Б

В

Г

6

-6

5

-5

4.Не розв’язуючи рівняння х2 -3х +8 =0, знайдіть добуток його коренів.

А

Б

В

Г

-3

3

-8

8

5.З наведених рівнянь виберіть те, коренями якого є числа 2 і 3.

А

Б

В

Г

х2-5х+6=0

х2-2х+3=0

(х+2)(х+3)=0

х2+2х-3=0

6.Які з чисел є коренями рівняння 2х2-7х +5=0?

А

Б

В

Г

2;5

1;2,5

-2;-5

-1;-2,5

ІІІ. Достатній рівень навчальних досягнень.

7.Корені х1 та х2 рівняння х2-5х +в =0 задовольняють умову 3х1+2х2 =12. Знайдіть корені рівняння і значення в.

8.Число – 2 є коренем рівняння 3х2+5х +а =0. Знайдіть другий корінь рівняння і значення а.

ІУ. Високий рівень навчальних досягнень.

9.Відомо, що х1і х2 – корені рівняння х2+4х -10 =0. Не розв’язуючи цього рівняння, знайдіть значення виразу х21 22.

10. При якому значенні а рівняння 9х2-12х +а =0 має один корінь? Знайдіть цей корінь.

Тестові завдання.

Квадратне рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв’язування.

1.Серед наведених рівнянь квадратними є:
а)2х
3-х +1=0. б) в) х2- х-2=0 г)

2.Коефіцієнти рівняння х2-2х-8 =0:

а)а=1,b=-2,с=-8 б) а=1, b=2,с =8 в)а=-2, b=-8,с=1 г)а=-8, b=1,с=-2

3.Числа а = 1,2, b=4,с=-3,5 є коефіцієнтами квадратного рівняння:

а)4х2-3,5х+4=0; б)4х2+1,2х-3,5=0; в)-3,5х2+4х+1,2=0; г)1,2х2+4х-3,5 =0

4.Якщо у квадратному рівнянні с=0, то рівняння має корені:
а)х=0іх=
b; б)х=1і х =; в)х=-1 і х =-а; г)х=0 і х = -

5.Коренями рівняння 3х2-15 =0 є числа:

а); б); в) 2; г)

6.Сума коренів рівняння 2х2+7х =0 дорівнює:

а)0; б)-3,5; в)7,2; г)-14

7.Добуток двох послідовних натуральних чисел на 48 більше від більшого з них. Знайдіть ці числа. Склавши за умовою задачі рівняння і спростивши цього, одержали:

а)х2-49=0; б) х2+7х=0; в) х2-7х=0; г) х2-25=0

8.Добуток коренів рівняння (2х+1)2=2х+1 дорівнює:

а)-6; Б)-1; в)0; г)8

9.Рівняння х2(х-5)2-5(х-5)2=0:

а) має один корінь; б)має два корені; в)має три корені; г)не має коренів.

Формула коренів квадратного рівняння.

1.Дискримінант D =(-5)2-4*2*1 для рівняння:

а)5х2+2х-1=0; б)2х2-5х+1=0; в)х2-5х-2=0; г)2х2-х-5=0.

2.Серед поданих рівнянь не має коренів:

а)2х2+3х+1=0; б)4х2+8х+1=0; в)х2-4х+4=0; г)5х2-3х+2=0

3.Рівняння 9х2+12х+с=0 має два різних корені, якщо:

а)с=-1; б)с=4; в)с=5; г)с=10

4.Корені рівняння 2х2-3х-5=0 можна обчислити:

а)х1,2=; б)х1,2=; в)х1,2=; г)х1,2=

5.Коренями рівняння 3х2+7х+2=0 є числа:
а)-2 і ; б)-2 і - ; в)- і2; г)- і

6.Якщо у квадратному рівнянні b =2k, то його корені можна обчислити:

а)x1.2=; б)х1,2=; в)х1,2=

7.Для рівняння 5х2=6х+8:

а) D=(-6)2-4*5*(-8); б) D =(-4)2-5*(-6); в) D= (-3)2-5*(-8); г) D=(-6)2-5*(-8)

8.Більший з коренів рівняння 11х = 3 + 10х2 більший меншого на:

а)0,3; б)0,1; в)1,2; г)0,2.

9.Сума коренів рівняння 3х4-6х3+3х2=0 дорівнює:

а)0; б)1 в)2 г)3

Теорема Вієта

1.Для коренів х1іх2 рівняння х2-7х +12 =0 правильним є твердження:

а) х12 =-7, х1х2=12 б) х12 =7, х1х2= - 12; в) х12 =-7, х1х2= - 12;

г) х12 =7, х1х2=12.

2.відомо, що -4 і – 2 – корені зведеного квадратного рівняння х2+рх+ q=0.Тоді:

а) q= -6; б) q =6; в) q =-8; г) q =8.

3.Якщо -7 і 9 - корені зведеного квадратного рівняння х2+рх + q =0,то:

а)р =2; б)р = -2; в)р = -63; г)р = 63.

4.Якщо х12 = 5, х1х2= - 6, то х1 і х2 – корені зведеного квадратного рівняння:

а) х2+ 5х -6 =0; б) х2- 5х -6 =0; в) х2- 5х +6 =0; г) х2+ 5х +6 =0.

5.Якщо х1 і х2 - корені рівняння 2х25 5х +2 =0, то:

а) х12 =5, х1х2=2; б) х12 =2,5, х1х2=1; в) х12 =-5, х1х2=-2; г) х12 =-2,5, х1х2=1.

6.Один з коренів рівняння х2+ рх -14 =0 дорівнює 2. Тоді правильно, що:

а)другий корінь дорівнює 7, р = -9; б)другий корінь дорівнює 12, р = -14;
в)другий корінь дорівнює -7, р =5; г)другий корінь дорівнює -16, р = 14.

7.Частка коренів рівняння х2+ 5х + q =0 дорівнює -3,5. Тоді q дорівнює:

а)-5; б)-7; в)-14; г)-25.

8.Якщо х1х2 =12, х2122 = 40, то х1 і х2 – корені рівняння:

а) х2-8х + 12 =0; б) х2-12х +6 =0; в) х2+ 8х +40 =0; г) х2-12х -40 =0.

9.рівнянням, у якого корені на 2 менші від коренів рівняння х2-187х +148 =0, є:

а) х2-189х -200 =0; б) х2+ 185х +150 =0; в) х2+ 180х -146 =0; г) х2-183х -222 =0.

Тематична контрольна робота з теми «Квадратні рівняння. Теорема Вієта»

Варіант 1.

І рівень ( 3 бали).

1.У квадратному рівнянні 2х2- 5х +6 =0 коефіцієнт:
варіант 1а) в дорівнює ___
варіант1б) а дорівнює ____.

2.Серед чисел -3;-2;2;3 коренями рівняння:
варіант1а) х
2- 5х +6 =0 є числа_________
варіант1б) х
2+ 5х +6 =0 є числа________

3.Серед квадратних рівнянь х2- 5х +6=0; х2- 5х +6 =0; х2-6х +9 =0:
варіант1а) коренів немає рівняння__________________
варіант1б) має два різні корені рівняння __________________.

ІІ рівень ( 3 бали).

4.Знайдіть корені рівняння:
варіант1а) 3х
2+ х =0; варіант1б) х2+ 5х =0.

5.Розв’яжіть рівняння:
варіант1а) 2х
2- 5х +3 =0; варіант1б) 3х2-7х +4 =0.

6.З’ясуйте, чи має це рівняння корені. Якщо так, то не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму і добуток коренів:
варіант 1а) х
2-8 + 7=0; варіант1б) х2+ 8х +15 =0.

ІІІ рівень (3 бали)

7.Розв’яжіть рівняння:
варіант1а) (х+8)
2-х=8; варіант1б)(х-3)2+18=6х.

8.Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють:
варіант1а)1- і 1 + ; варіант1б) 2+ і 2 -.

ІУ рівень ( 3 бали).

9.Знайдіть х21 + х22, якщо х1 і х2 - корені рівняння:
варіант1а) х
2-2х -1 =0; варіант1б)х2-4х – 1 =0.

Тематична контрольна робота з теми «Формула коренів квадратного рівняння. Теорема Вієта»

І рівень. У завданнях 1 – 3 виберіть і підкресліть правильну відповідь.

1.Із наведених нижче рівнянь квадратними є:

а)2х +2; б)х + 22 =0; в) х2+2.

2.Коефіцієнт с у квадратному рівнянні х2 -5х +6 =0 дорівнює:

а) 1; б)-3; в)4.

3.Коренями рівняння х2 -5х+6 =0 є числа:

а) 2 і 3 ; б) -2 і -3; в) -2 і 3.

ІІ рівень.

4.Знайдіть корені рівняння х2 +3х =0.

5.Розв’яжіть рівняння 4 х2 – 11х +6 =0.

6.Знайдіть суму й добуток коренів рівняння 2 х2 + 3х+1 =0.

ІІІ рівень.

7.Розв’яжіть рівняння

8.У рівнянні х2 –рх – 35 =0 один з коренів дорівнює 5. Знайдіть другий корінь коефіцієнт р.

ІУ рівень. Розв’яжіть одну з наведених задач.

9.Розв’яжіть рівняння х2 -2 +1 =0.

10. Не обчислюючи коренів х1 і х2 рівняння 3х2 – 8х – 15 =0 , знайдіть.

Квадратні рівняння.

Тематична атестація.

Контрольна робота.

Рівень А.

Варіант 1.

1.Розв’язати рівняння:

а)25х2 =0; б) 5 х2 = 25х; в)100 х2 -16 =0.

2.Розв’язати дробове рівняння:

3.Знайти корені рівняння: 2х2+5х+9 = х+2.

4.Розв’язати дробове рівняння:

5.Знайти добуток коренів рівняння:

Варіант 2.

1.Розв’яжи рівняння:

а)16х2 =0; б)2х2+8х=0; в)9х2 -25 =0.

2.Розв’язати дробове рівняння:

3.Знайти корені рівняння: 4х2+4х+4 = х+3.

4. Розв’язати дробове рівняння:

5.Знайти добуток коренів рівняння:

Рівень Б.

Варіант 1.

1.Розв’язати квадратні рівняння:

а) х2 -5=0; б)3у2-2у-8=0.

2.Розв’язати дробові рівняння:

а)

3.Знайти корені рівняння: 6а2 –(а+2)2 = -4(а-4).

4. Розв’язати дробове рівняння:

5. Знайти добуток коренів рівняння:

Варіант 2.

1.Розв’язати квадратні рівняння:

а) х2 – 0,4х =0; б) 5х2 -8х +3 =0.

2.Розв’язати дробові рівняння:

а)

3.Розв’язати рівняння: 10(х-2) +19 = (5х-1)(5х+1).

4.Розв’язати рівняння:

Рівень В.

Варіант 1.

1.Знайти корені рівняння:

а)(х-4)(4х+6) = (х-5)2; б) х2 7|х| +6 =0.

2.Розв’язати рівняння:

3.Чи існує таке значення х, при якому різниця значень дробів:

дорівнює їх добутку?

Варіант 2.

1.Знайти корені рівняння:

а)(х-3)(2х+10) = (2+х)2; б) |х2 +6х +8 |=3.

2.Розв’язати рівняння:

3.Чи існує таке значення змінної , при якому вирази:

набувають рівних значень?

Залік

Карточка № 1.

1.Яке рівняння називається квадратним?

2.Розв’язати квадратне рівняння, виділивши квадрат двочлена: х2 +2х -15=0.

3.Розв’язати рівняння:
а)2х(х-3) =50; б)(х-1)(х-2) =4х.

4.Розв’язати рівняння:

Карточка №2.

1.Неповне квадратне рівняння. Як розв’язати рівняння: ах2 =0?

2.Вивести формулу для знаходження коренів квадратного рівняння.

3.Розв’язати рівняння:
а)(х-1)
2= б)зх2-7х = -2.

4.Розв’язати рівняння:

Карточка №3.

1.Як розв’язати рівняння виду: ах2 +в =0?

2.Розв’язати рівняння: ах2+вх.+с =0, виділяючи квадрат двочлена.

3.Розв’язати рівняння:
а)(х+1)
2 = -

4.Розв’язати рівняння: (2х+7)(7-2х) +6х2 = 49 +7х.

Карточка №4.

1.Як розв’язати рівняння виду: ах2 +вх.=0?

2.Вивести формулу для знаходження коренів квадратного рівняння.

3.Розв’язати рівняння:
а)(х+3)
2 =0; б)

4.Розв’язати рівняння: |х2 +3х-2| =4.

Тести

Варіант 1.

1.Яке з рівнянь не є квадратним:
а)-х
2+5х+ б)2х(х+5) =7; в)=0; г)7х2-13=0?

2.Яке з рівнянь не має коренів:
а)х
2+144х=0; б)х2-14=0; в)х2+14=0; г)-х2=-1?

3. Скільки коренів має рівняння: 2х2-9х-5=0?
а)1; б)2; в)жодного; г)безліч.

4.Яке з рівнянь є неповним квадратним:
а)х
2+3х=0; б)х2=0; в)х2-+1=0; г)2х2=7х-6.

5.Сума коренів квадратного рівняння: х2-4х+3=0
а)3; б)4; в)-3; г)-4.

6.Добуток коренів квадратного рівняння: х2+2х-8=0
а)2; б)-2; в)8; г)-8.

7.Знайти корені рівняння:

8.Знайти значення змінної у, при якому сума дробів дорівнює їх добутку.

Варіант2.

1.Яке з рівнянь є квадратним:
а)2х
23=0; б)х2= в)(х-1)(х-2)=4х; г)х2-5х+3=х(х-)?

2.Яке з рівнянь не має коренів:
а)х
2=0; б)-3х2=-1; в)х2+81=0; г)х2-16=0.

3.Скільки коренів має рівняння: 2х2-3х+4=0?
а)1; б)2; в)жодного; г)безліч.

4.Яке з рівнянь має один корінь:
а)х
2=9; б)2х-х2=0; в)х2+х+1=0; г)х2+6х+9=0.

5.Сума коренів квадратного рівняння: х2+3х-10=0
а)3; б)10; в)-10; г)-3.

6.Добуток коренів квадратного рівняння: х2+4х-21=0
а)21; б)-4; в)-21; г)4.

7.Знайти корені рівняння:

8.Знайти значення змінної у, при якому різниця дробів дорівнює їх добутку.

Тематична контрольна робота з теми «Квадратні рівняння. Теорема Вієта».

Варіант 1.

1.Розв’яжіть квадратне рівняння:

1)х2-5х+4=0; 2)у2+9у=0; в)7z2-z-8=0; г)2t2-72=0.

2.При яких значеннях t виконується рівність ?

3.Один з коренів рівняння у2-у-в дорівнює 4. Знайдіть другий корінь і число в.

4.Складіть квадратне рівняння , корені якого дорівнюють

5.Не розв’язуючи рівняння 3х2-7х-11=0, знайдіть значення виразу х21 + х22.

Варіант 2.

1.розв’яжіть квадратне рівняння:
1)
m2-7 m +6=0; 2)х2-6х=0; в)6у2+у-7=0; г)5 t 2-125=0,

2.При яких значеннях t виконується рівність ?

3.Один з коренів рівняння у2+ву -8=0 дорівнює 4. Знайдіть другий корінь і число в.

4.Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють - і 2.

5.Не розв’язуючи рівняння 2х2+3х-13=0, знайдіть значення виразу .

Знайти правильну відповідь.

А) – у2 =0; 1). , 6)..

Б)2а = а2; 2).0. 7).3; - 3.

В)2х(х+5) = 7х; 3).0; 2. 8)2;-2.

Г)-х(2х+3) =8х; 4). 9)0 і – 1,5.


д)у2-9=0; 5)- . 10) 0 і – 1,5.

Е)2х2-8=0;

Є) 2х2 = 17х.

Математична естафета.

І команда ІІ команда

1)х2-11х+30=0; 1) х2-х - 90=0;

2) х2-6х+9=0; 2) х2 + 6х+9=0;

3) 3х2-5х+4=0; 3) 5х2 +4х+7=0;

4) х2-7х+12=0; 4) х2+2х -35=0;

5) 3х2 +х - 4=0; 5)2 х2-5х+2=0;

6) 5х2-9х - 2=0; 6) 5х2+4х+7=0;

7) х2=4х+5; 7) х2-8 =4-4х;

8) 3х2 -7=2-2х; 8) 5х2 +4=6х+3.

Знайди правильну відповідь.

Завдання Відповіді

1)4х2-19х+12=0; 1)4; -2;

2)10с2-53с+15=0; 2)8;2.

3)1,5у (3у -15) =27; 3)0; 13.

4)6х (5-) =48; 4) 4; 0,75.

5)х(7-х) 5х-8; 5)3; -4,5.

6)2х(3х+4) = 4х2+5х+27; 6)5; 0,3.

7)(х-5)2=3х+25; 7) 6; -1.

8) 3; 2.

9) -3;2.

Література

1.Алгебра. 7 – 11 класи. Чекова А.Н. Харків, 2003.

2.Зошит для контрольних робіт з алгебри; 8 клас. О.М.Роганін, О.О.Роганіна. Харків , Факт, 2005.

3.Заліковий зошит для тематичного оцінювання навчальних досягнень з алгебри, 8 клас. Л.Г.Стадник, О.М.Роганін. Харків, Ранок, 2003.

4.Тест – контроль. Поточне, тематичне та річне оцінювання навчальних досягнень з алгебри, 8 клас. О.І.Каплун. Харків, Весна, 2008.

5.Розгорнуте календарне планування з алгебри, 8 клас. С.П.Бабенко. Харків. Ранок, 2008.

6.Тестовий зошит з алгебри, 8 клас. Л.В.Дудко, Т.Г.Роєва. Харків,2008.

7.Зошит для самостійних і контрольних робіт з алгебри, 8 клас. Т.Г.Роєва, С.А.Кононенко, Л.Я.Синельник. Харків,2005.

8.Тематична атестація з математики, 8 клас. Климчук В.Я., Коваль Г.І., Кумановська Н.М., Пришляк І.М. Тернопіль, 2000..

9.Експре – контроль з алгебри, 8 клас. С.П.Бабенко. Харків. Ранок, 2008.

33

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«ZOO-психологія: як навчитися розуміти тварин»
Левченко Вікторія Володимирівна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.